超几何级数

当c{\displaystyle c}不是0,-1,-2...时，对于|z| 幂级数定义

2F1(a,b;c;z)=∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->a(n)b(n)c(n)znn!{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}}

其中  x(n){\displaystyle \ x^{(n)}} 是Pochhammer符号，定义为:

当a或b是0或负整数时级数只有有限项。

对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。

特殊情形

很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下

因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

2F1(a,1− − -->a;c;z)=Γ Γ -->(c)z1− − -->c2(1− − -->z)c− − -->12P− − -->a1− − -->c(1− − -->2z){\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}

很多多项式，例如贾可比多项式P(α,β)n及其特殊情形勒让德多项式,车比雪夫多项式,Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

2F1(− − -->n,α α -->+1+β β -->+n;α α -->+1;x)=n!(α α -->+1)nPn(α α -->,β β -->)(1− − -->2x){\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)} 其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式。

椭圆模函数（英语：Elliptic modular function）有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若

则

是τ的椭圆模函数.

不完整的beta函数 Bx(p,q) 表示成

完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出

超几何方程

超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数)

展开后，得

它有三个正则奇点：0, 1, ∞.

正则奇点 0 附近的解

超几何方程的指标方程（英语：Frobenius method）为

它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c。

当 c不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：

当 c 为 1 时，方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当 c 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为Meijer G-函数：

正则奇点 1 附近的解

只需作代换 t=1-z，方程变为：

当 a+b-c 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

正则奇点 ∞ 附近的解

当 a-b 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

李代数参数与连接关系

在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

参数 α,β,γ 称为李代数参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示

式中的 Β 是beta函数。

证明

可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设

则

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数，故可知等号右边应取 C2F1(a,b,c;z) 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 C 为待定的常数。

对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 C。

变换公式

分式线性变换

Pfaff 变换

Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 β 与 μ 对换）：

由 a,b 的对称性自然有：

证明

Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令

则

取

由 w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-z)w(z) 在 z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Euler 变换

Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 β 变成 -β：

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。

将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（Fα,β,μ 恒等于 Fα,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：

二次变换

下面是一个二次变换的例子：

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

证明

仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：

令

则

取

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

其它例子

运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为

其中 f(z),g(z) 是 z 的函数， P(z) 表示 z 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

另外还有：

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

三次及高次变换

若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)。

特殊值

z=0

z=1

这称为高斯原理（Gauss"s theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

z=-1

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

z=1/2

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

参考文献

Hazewinkel, Michiel (编),Hypergeometric function,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

John Pearson,Computation of Hypergeometric Functions(University of Oxford, MSc Thesis)

Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger,The book "A = B"(freely downloadable)

MathWorld上Hypergeometric Function的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。

Olde Daalhuis, A. B.,Hypergeometric Function, (编) Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255,MR2723248 

Goursat, Édouard.Sur l"équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique. Annales Scientifiques de l"École Normale Supérieure. 1881, 10: 3–142 [2008-10-16]（法语）. 

^Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113. 

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