华林问题
与四平方和定理之关系
在三世纪时,数学家丢番图首先提出“是否每一个正整数都是四个平方数之和”的问题。1730年,欧拉开始研究该问题,但未得出证明。
第一个给出完整证明的是拉格朗日,他的证明用了欧拉的一个公式:
后来欧拉也给出另一证明。
华林猜想
1770年,华林发表了《代数沉思录》(Meditationes Algebraicae),其中说,每一个正整数至多是9个立方数之和;至多是19个四次方之和。还猜想,每一个正整数都是可以表示成为至多r个k次幂之和,其中r依赖于k。
研究进展
1909年,大卫·希尔伯特首先用复杂的方法证明了g(k)的存在性。1943年,U.V.林尼克给出了关于g(k)存在性的另一个证明。然而,尽管g(k)的存在性已被证明,人们尚且无法知晓g(k)与k之间的关系。华林自己推测g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19。
1770年,拉格朗日证明了四平方和定理,指出g(2)=4。1909年亚瑟·韦伊费列治证明了g(3)=9。
1859年,刘维尔证明了g(4)<=53,他的想法是借助一个恒等式(Liouville polynomial identity):
后来哈代和李特尔伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉玛尼拉玛尼安证明了g(4)=19。1896年马力特得到g(5)<=192;1909年韦伊费列治将结果改进为g(5)<陈景润;1964年陈景润证明了g(5)=37。
事实上,莱昂哈德·欧拉之子J.A.欧拉猜想:g(k)=2k+[(32)k]− − -->2{\displaystyle g(k)=2^{k}+\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right]-2}("[q]"表示"q"的整数部分)。至1990年,对于6[3]
更强的问题
由于g(k)的值严重依赖于正整数较小时的情况,人们提出了一个更强的问题,求对于每个充分大的正整数,可使它们分解为k次方数的个数G(k)。此问题进展较慢,至今G(3)仍无法确定。
其他推广
华林-哥德巴赫问题
陈述:对于任何一个正整数n,是否存在一个数k,使得每个充分大的整数都可以表示为k个质数的n次幂的和?
此问题在1938年已被华罗庚证明成立。
表法数问题
任给一个正整数都是可以表为四个平方数之和。进一步,给定一个正整数,表示成为四个平方数的不同表示法有多少种?这问题已由雅可比给出了解答。
但是,对于立方和,四次方和等等的情况,仍然非常困难。
不限于正整数
考虑用有理数的方幂和来表示正有理数。
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