定义

设 k{\displaystyle k} 为域（例如实数或复数域），对布于 k{\displaystyle k} 上的 n× × -->n{\displaystyle n\times n} 矩阵 A{\displaystyle A}，定义其特征多项式为

这是一个 n{\displaystyle n} 次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

性质

当 A{\displaystyle A} 为上三角矩阵（或下三角矩阵）时，pA(t)=∏ ∏ -->i=1n(t− − -->λ λ -->i){\displaystyle p_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(t-\lambda _{i})}，其中 λ λ -->1,… … -->,λ λ -->n{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}} 是主对角线上的元素。

对于二阶方阵，特征多项式能表为 pA(t)=t2− − -->tr(A)t+det(A){\displaystyle p_{A}(t)=t^{2}-\mathrm {tr} (A)t+\det(A)}。一般而言，若 pA(t)=tn+an− − -->1tn− − -->1+… … -->+a0{\displaystyle p_{A}(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}}，则 a0=(− − -->1)ndet(A){\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}\det(A)}，an− − -->1=− − -->tr(A){\displaystyle a_{n-1}=-\mathrm {tr} (A)}。

此外：

特征多项式在基变更下不变：若存在可逆方阵 C{\displaystyle C} 使得 B=C− − -->1AC{\displaystyle B=C^{-1}AC}，则 pA(t)=pB(t){\displaystyle p_{A}(t)=p_{B}(t)}。

对任意两方阵 A,B{\displaystyle A,B}，有 pAB(t)=pBA(t){\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t)}。一般而言，若 A{\displaystyle A} 为 m× × -->n{\displaystyle m\times n} 矩阵，B{\displaystyle B} 为 n× × -->m{\displaystyle n\times m} 矩阵（设 mmpBA(t){\displaystyle p_{AB}(t)=t^{n-m}p_{BA}(t)}

凯莱-哈密顿定理：pA(A)=0{\displaystyle p_{A}(A)=0}。

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