开普勒问题解析

所有的吸引性的有心力都能够形成圆形轨道，前提是有心力必须相等于粒子的向心力。给定圆半径，这要求相当于物体的角速度已被决定。在此条目里，不会提到非有心力。一般而言，非有心力不能形成圆形轨道。

假设，一个质量为m{\displaystyle m\,\!}的粒子移动于一个连心势V(r){\displaystyle V(r)\,\!}内。r{\displaystyle r\,\!}是径向坐标。其拉格朗日方程为

其中，时间是t{\displaystyle t\,\!}，角速度是ω ω -->≡ ≡ -->dθ θ -->dt{\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}\角动量}，运动常数角动量是L=mr2ω ω -->{\displaystyle L=mr^{2}\omega \,\!}。

详细说明，对于圆形轨道，方程左手边第一项目等于零；如预期，有心力− − -->dVdr{\displaystyle -{\frac {dV}{dr}}\,\!}相等于向心力− − -->mrω ω -->2{\displaystyle -mr\omega ^{2}\,\!}。

角动量定义可以将自变数从t{\displaystyle t\,\!}改变为θ θ -->{\displaystyle \theta \,\!}：

这样，新的运动方程不含时间：

变数变换u≡ ≡ -->1r{\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}\,\!}，将方程两边乘以mr2L2{\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}\,\!}，则可微分方程分方程：

对于一个反平方作用力，像万有引力或静电力，位势可以表示为

代入微分方程，

导引出轨道为

其中，离心率是e{\displaystyle e\,\!}，相位常数是θ θ -->0{\displaystyle \theta _{0}\,\!}。这些都是积分常数。

这是一个焦点在力中心点的圆锥曲线方程。圆锥曲线的离心率与总能量E{\displaystyle E\,\!}有关：

假若E=− − -->k2m2L2{\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}\,\!}，则e=0{\displaystyle e=0\,\!}，轨道是圆形的；假若E<0{\displaystyle E<0\,\!}，则e<1{\displaystyle e<1\,\!}，轨道是椭圆形的；假若E=0{\displaystyle E=0\,\!}，则e=1{\displaysty抛物线e=1\,\!}，轨道是抛物线；假若E>0{\displaystyle E>0\,\!}，则e>1{\d双曲线laystyle e>1\,\!}，轨道是双曲线。

参阅

开普勒定律

广义相对论中的开普勒问题

拉普拉斯-龙格-楞次矢量

伯特兰定理

哈密顿-亚可比方程

作用量-角度坐标

牛顿旋转轨道定理

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