定义

点变换（point transformation）将广义坐标 q = ( q 1 ,   q 2 ,   … … --> ,   q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})} 变换成广义坐标 Q = ( Q 1 ,   Q 2 ,   … … --> ,   Q N ) {\displaystyle \mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})} ，点变换方程的形式为

其中， t {\displaystyle t} 是时间。

在哈密顿力学里，由于广义坐标与广义动量 p = ( p 1 ,   p 2 ,   … … --> ,   p N ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})} 同样地都是自变量（independent variable），点变换的定义可以加以延伸，使变换方程成为

其中， P = ( P 1 ,   P 2 ,   … … --> ,   P N ) {\displaystyle \mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})} 是新的广义动量。

为了分辨这两种不同的点变换，称前一种点变换为位形空间点变换，而后一种为相空间点变换。

在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标 ( q ,   p ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )} 变换为一组新的正则坐标 ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ，而同时维持哈密顿方程的形式（称为形式不变性）。原本的哈密顿方程为

新的哈密顿方程为

其中， H ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 、 K ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。

实际用处

思考一个物理系统的哈密顿量

假设哈密顿量跟其中一个广义坐标 q i {\displaystyle q_{i}} 无关，则称 q i {\displaystyle q_{i}} 为可略坐标（ignorable coordinate），或循环坐标（cyclic coordinate）：

在哈密顿方程中，广义动量对于时间的导数是

所以，广义动量 p i {\displaystyle p_{i}} 是常数 k i {\displaystyle k_{i}} 。

假设一个系统里有 n {\displaystyle n} 个广义坐标是可略坐标。找出这 n {\displaystyle n} 个可略坐标，则可以使这系统减少 2 n {\displaystyle 2n} 个变数；使问题的困难度减少很多。正则变换可以用来寻找这一组可略坐标。

生成函数方法

采取一种间接的方法，称为生成函数方法，从 ( q ,   p ,   H ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ {\mathcal {H}})} 变换到 ( Q ,   P ,   K ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ {\mathcal {K}})} 。为了要保证正则变换的正确性，第二组变数必须跟第一组变数一样地遵守哈密顿原理

那么，必须令

其中， σ σ --> {\displaystyle \sigma } 是标度因子， G {\displaystyle G} 是生成函数。

假若一个变换涉及标度因子，则称此变换为标度变换（scale transformation）。一般而言，标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1，则称此正则变换为延伸正则变换（extended canonical transformation）；假若标度因子等于1，则称为正则变换。

任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个 σ σ --> ≠ ≠ --> 1 {\displaystyle \sigma \neq 1} 的延伸正则变换表示为

则可以设定另外一组变数与哈密顿量： Q = α α --> Q ′ {\displaystyle \mathbf {Q} =\alpha \mathbf {Q} "} 、 P = β β --> P ′ {\displaystyle \mathbf {P} =\beta \mathbf {P} "} 、 K = α α --> β β --> K ′ {\displaystyle {\mathcal {K}}=\alpha \beta {\mathcal {K}}\,"} 、 G = α α --> β β --> G ′ {\displaystyle G=\alpha \beta G\,"} ；其中， α α --> ,   β β --> {\displaystyle \alpha ,\ \beta } 是用来删除 σ σ --> {\displaystyle \sigma } 的常数， σ σ --> = 1 α α --> β β --> {\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\alpha \beta }}} 。经过一番运算，可以得到

显然地，这变换符合哈密顿方程。所以，任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。

假若正则变换不显性含时间，则称为设限正则变换（restricted canonical transformation）。

生成函数 G {\displaystyle G} 的参数，除了时间以外，一半是旧的正则坐标；另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定，一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换，从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换 ( q ,   p ) → → --> ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} 保证是正则变换。

第一型生成函数

第一型生成函数 G 1 {\displaystyle G_{1}} 只跟旧广义坐标、新广义坐标有关，

代入方程（1）。展开生成函数对于时间的全导数，

新广义坐标 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 和旧广义坐标 q {\displaystyle \mathbf {q} } 都是自变量，其对于时间的全导数 Q ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}} 和 q ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}} 互相无关，所以，以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 个方程都必须成立：

这 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 个方程设定了变换 ( q ,   p ) → → --> ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ，步骤如下：

第一组的 N {\displaystyle N} 个方程（2），设定了 p {\displaystyle \mathbf {p} } 的 N {\displaystyle N} 个函数方程

在理想情况下，这些方程可以逆算出 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 的 N {\displaystyle N} 个函数方程

第二组的 N {\displaystyle N} 个方程（3），设定了 P {\displaystyle \mathbf {P} } 的 N {\displaystyle N} 个函数方程

代入函数方程（5），可以算出 P {\displaystyle \mathbf {P} } 的 N {\displaystyle N} 个函数方程

从 2 N {\displaystyle 2N} 个函数方程（5）、（6），可以逆算出 2 N {\displaystyle 2N} 个函数方程

代入新哈密顿量 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 的方程（4），可以得到

第二型生成函数

第二型生成函数 G 2 {\displaystyle G_{2}} 的参数是旧广义坐标 q {\displaystyle \mathbf {q} } 、新广义动量 P {\displaystyle \mathbf {P} } 与时间：

以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程设定了变换 ( q ,   p ) → → --> ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ：

第三型生成函数

第三型生成函数 G 3 {\displaystyle G_{3}} 的参数是旧广义动量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 、新广义坐标 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 与时间：

以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程设定了变换 ( q ,   p ) → → --> ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ：

第四型生成函数

第四型生成函数 G 4 ( p , P , t ) {\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} 的参数是旧广义动量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 、新广义动量 P {\displaystyle \mathbf {P} } 与时间：

以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程设定了变换 ( q ,   p ) → → --> ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ：

实例1

第一型生成函数有一个特别简易案例：

生成函数的导数分别为

旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同：

实例2

再举一个比较复杂的例子。让

这里， g {\displaystyle \mathbf {g} } 是一组 N {\displaystyle N} 个函数。

答案是一个广义坐标的点变换，

不变量

正则变换必须满足哈密顿方程不变；哈密顿方程为正则变换的一个不变式。另外，正则变换也有几个重要的不变量。

辛条件

辛标记提供了一种既简单，又有效率的标记方法来展示方程及数算。设定一个 2 N × × --> 1 {\displaystyle 2N\times 1} 的竖矩阵 ξ ξ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}  :

变数矢量 ξ ξ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} 将 q {\displaystyle \mathbf {q} } 与 p {\displaystyle \mathbf {p} } 包装在一起。这样，哈密顿方程可以简易的表示为

这里， Ω Ω --> {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} 是辛连结矩阵、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 是哈密顿量。

应用辛标记于正则变换，正则坐标会从旧正则坐标 ξ ξ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} 改变成新正则坐标 Ξ Ξ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}} ， ξ ξ --> → → --> Ξ Ξ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}} ；哈密顿量也从旧的哈密顿量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 改变成新的哈密顿量 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} ， H → → --> K {\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}} ；但是，哈密顿方程的形式仍旧维持不变：

这里， K = H + d G d t + P Q ˙ ˙ --> − − --> p q ˙ ˙ --> {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}} 。

用第一型生成函数 G = G 1 ( q ,   Q ,   t ) {\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} ，则 K = H + ∂ ∂ --> G 1 ∂ ∂ --> t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}} 。

取 Ξ Ξ --> = Ξ Ξ --> ( ξ ξ --> ,   t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)} 关于时间 t {\displaystyle t} 的导数，

这里， M {\displaystyle \mathbf {M} } 是亚可比矩阵， M i j = ∂ ∂ --> Ξ Ξ --> i ∂ ∂ --> ξ ξ --> j {\displaystyle M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}} 。

代入哈密顿方程，

假若限制正则变换为设限正则变换，也就是说，显性地不含时间，解答会简单许多。假若正则变换显性地含时间，则仍旧能得到与下述同样的答案，这是一个很好的偏导数习题。现在，限制这正则变换为设限正则变换，则简化后的方程为

而 H = H ( ξ ξ --> ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})} ，所以，

代回前一个方程，取 ξ ξ --> ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}} 的系数，则可以得到

经过一番运算，

可以求出辛条件：

在这里，得到了正则变换的辛条件：一个变换是正则变换，当且仅当辛条件成立。

基本泊松括号不变量

在相空间里，两个函数 f ( q ,   p ) ,   g ( q ,   p ) {\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )} 关于正则坐标 q ,   p {\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} } 的泊松括号定义为

用辛标记，

立刻，可以得到下述关系：

定义基本泊松括号 [ ξ ξ --> ,   ξ ξ --> ] {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}} 为一个方矩阵，其中，元素 i j {\displaystyle ij} 的值是 [ ξ ξ --> i ,   ξ ξ --> j ] {\displaystyle {\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}} 。那么，

思考一个变换 ξ ξ --> → → --> Ξ Ξ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}} 。新坐标的基本泊松括号为

这两个正则坐标的亚可比矩阵 M {\displaystyle M} 是

代入前一个方程，则

假若这变换是正则变换，辛条件 M T Ω Ω --> M = Ω Ω --> {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}} 必须成立，

相反地，假若 [ Ξ Ξ --> ,   Ξ Ξ --> ] ξ ξ --> = Ω Ω --> {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}} ，则辛条件成立，这变换是正则变换。

所以，一个变换是正则变换，当且仅当基本泊松括号关于任何正则坐标的值不变。当表示基本泊松括号时，我们可以忽略下标符号，直接表示为 [ ξ ξ --> ,   ξ ξ --> ] {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}} ，而认定这基本泊松括号是关于正则坐标计算的值。

泊松括号不变量

思考两个函数 f ,   g {\displaystyle f,\ g} 对于正则坐标 ξ ξ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} 的泊松括号

假若这变换是正则变换，辛条件 M T Ω Ω --> M = Ω Ω --> {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}} 必须成立，

所以，任何两个函数关于正则坐标的泊松括号，都是正则变换的不变量。当表示泊松括号时，可以忽略下标符号，直接表示为 [ f ,   g ] {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}} ，而认定这泊松括号是关于正则坐标计算的值。

参阅

正则变换列表

正则坐标

泊松括号

辛矩阵

辛拓扑

辛群

参考文献

Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

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