通项公式

如果一个等差数列的首项标为 a 1 {\displaystyle \ a_{1}} ，公差标为 d {\displaystyle \ d} ，那么该等差数列第 n {\displaystyle \ n} 项的表达式为：

等差数列的任意两项之间存在关系：

和为 S n {\displaystyle S_{n}} ，首项 a 1 {\displaystyle a_{1}} ，末项 a n {\displaystyle a_{n}} ，公差 d {\displaystyle \ d} ，项数 n {\displaystyle \ n} ，同时可得

等差中项

给定任一公差为 d {\displaystyle \ d} 的等差数列 a n = a 1 + ( n − − --> 1 ) d , n > 1 {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d\quad ,n>1} 。从第二项 a 2 {\displaystyle \ a_{2}} 开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。 例： a 1 + a 3 = 2 a 2 {\displaystyle \ a_{1}+a_{3}=2a_{2}}

证明：

设 a n − − --> 1 + a n + 1 ≠ ≠ --> 2 a n {\displaystyle a_{n-1}+a_{n+1}\neq 2a_{n}} ，

则

证毕

等差数列的和

等差数列的和称为 等差级数 。

公式

一个公差为 d {\displaystyle d} 的等差数列 a 1 , a 2 , … … --> , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} 前 n {\displaystyle n} 项的级数为：

等差级数在中文教科书中常表达为:

通常认为数学家高斯在小时候就发现这个公式。在他三年级的时候，他的老师让学生们做从1加到100【1+2+3+4+……+100】的习题。高斯很快发现数列的规律，用上面的公式得出了5050的答案。但显然可以肯定的是，在远远比这更早的古希腊甚至古埃及，就已经有人掌握了等差数列的这种求和的方法。

证明

将一个等差级数写作以下两种形式：

将两公式相加来消掉公差 d {\displaystyle d} :

整理公式，并且注意 a n = a 1 + ( n − − --> 1 ) d {\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d} ，我们有:

证毕

几何方法

范例：１＋２＋３＋．．．＋１０＝？示范影片

如影片中所示：以面积为１单位、２单位、３单位．．．、１０单位的长方形排成图形

再拿一整组同样大小的长方形反向排列，得一大长方形，而其面积除以二即为等差级数的和

原理同：

以几何方法计算等差级数示范影片

也就是我们所熟悉的: S n {\displaystyle S_{n}} = 上底加下底乘以高除以二。

性质

所有等差数列的等差级数均可表示为 S n = p n 2 + q n {\displaystyle \ S_{n}=pn^{2}+qn} 的形式( p {\displaystyle \ p} 、 q {\displaystyle \ q} 为常数)，其中公差 d = 2 p {\displaystyle \ d=2p} ，首项 a 1 = p + q {\displaystyle \ a_{1}=p+q} 。

如果以 S n {\displaystyle S_{n}} 表示新数列的公差为等差级数，则数列{ S n , S 2 n − − --> S n , S 3 n − − --> S 2 n , ⋯ ⋯ --> {\displaystyle S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n},\cdots } }也是等差数列。而且新数列的公差为 n 2 d {\displaystyle n^{2}d} 。

等差数列的积

等差数列的积较其和的公式复杂。给定一首项为 a 1 {\displaystyle \ a_{1}} ，公差为 d {\displaystyle \ d} 且其首项为正整数 ( a 1 ∈ ∈ --> Z + ) {\displaystyle \ (a_{1}\in \mathbb {Z} ^{+})} 的等差数列，其前 n {\displaystyle \ n} 项的积写作：

其中 x n ¯ ¯ --> {\displaystyle x^{\overline {n}}} 为 x {\displaystyle \ x} 的 n {\displaystyle \ n} 次上升阶乘幂。 注意，该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。

等差数列的一些其他性质

如果 m + n = p + q {\displaystyle m+n=p+q} ，那么对于等差数列{ a n {\displaystyle a_{n}} }，则有：

a m + a n = a p + a q {\displaystyle a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}}

当m≠n时，有 S m + n = ( S m − − --> S n ) ( m + n ) m − − --> n {\displaystyle S_{m+n}={\frac {(S_{m}-S_{n})(m+n)}{m-n}}} 证明如下：

参见

等比数列

参考文献

Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci"s Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 259–260. ISBN 978-0-387-95419-6.

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