定义

拓扑空间 是一个集合 X {\displaystyle X} 和其上定义的拓扑结构 τ τ --> {\displaystyle \tau } 组成的二元组 ( X , τ τ --> ) {\displaystyle (X,\tau )} 。 X {\displaystyle X} 的元素 x {\displaystyle x} 通常称为拓扑空间 ( X , τ τ --> ) {\displaystyle (X,\tau )} 的点。而拓扑结构 τ τ --> {\displaystyle \tau } 一词涵盖了 开集 ， 闭集 ，闭包域 ， 开核 ， 闭包 ， 导集 ， 滤子 等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间 ( X , τ τ --> ) {\displaystyle (X,\tau )} 作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从 开集 开始的。

开集公理

X {\displaystyle X} 的子集族 O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} 称为 开集系 （其中的元素称为 开集 ），当且仅当其满足如下 开集公理 ：

O 1 ： ∅ ∅ --> ∈ ∈ --> O {\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {O}}} ， X ∈ ∈ --> O {\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}} 。

O 2 ：若 A λ λ --> ∈ ∈ --> O {\displaystyle A_{\lambda }\in {\mathfrak {O}}} （ λ λ --> ∈ ∈ --> Λ Λ --> {\displaystyle \lambda \in \Lambda } ），则 ⋃ ⋃ --> λ λ --> ∈ ∈ --> Λ Λ --> A λ λ --> ∈ ∈ --> O {\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\in {\mathfrak {O}}} （对任意并运算封闭）。

O 3 ：若 A , B ∈ ∈ --> O {\displaystyle A,B\in {\mathfrak {O}}} ，则 A ∩ ∩ --> B ∈ ∈ --> O {\displaystyle A\cap B\in {\mathfrak {O}}} 。（对有限交运算封闭）。

从开集出发定义其它各概念：

从 开集 定义 闭集 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 是闭集，当且仅当 X − − --> A {\displaystyle X-A} 是开集。

从 开集 定义 邻域 ： X {\displaystyle X} 的子集 U {\displaystyle U} 是点 x {\displaystyle x} 的邻域，当且仅当存在开集 O {\displaystyle O} ，使 x ∈ ∈ --> O ⊆ ⊆ --> U {\displaystyle x\in O\subseteq U} 。

从 开集 定义 开核 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的开核 A ∘ ∘ --> {\displaystyle A^{\circ }} 等于 A {\displaystyle A} 包含的所有开集之并。

闭集公理

X {\displaystyle X} 的子集族 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 称为 闭集系 （其中的元素称为 闭集 ），当且仅当其满足如下 闭集公理 ：

C 1 ： ∅ ∅ --> ∈ ∈ --> F {\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {F}}} ， X ∈ ∈ --> F {\displaystyle X\in {\mathfrak {F}}} 。

C 2 ：若 A λ λ --> ∈ ∈ --> F {\displaystyle A_{\lambda }\in {\mathfrak {F}}} （ λ λ --> ∈ ∈ --> Λ Λ --> {\displaystyle \lambda \in \Lambda } ），则 ⋂ ⋂ --> λ λ --> ∈ ∈ --> Λ Λ --> A λ λ --> ∈ ∈ --> F {\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\in {\mathfrak {F}}} （对任意交运算封闭）。

C 3 ：若 A , B ∈ ∈ --> F {\displaystyle A,B\in {\mathfrak {F}}} ，则 A ∪ ∪ --> B ∈ ∈ --> F {\displaystyle A\cup B\in {\mathfrak {F}}} 。（对有限并运算封闭）。

（显然，闭集是开集的对偶概念）。

从闭集出发定义其它各概念：

从 闭集 定义 开集 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 是开集，当且仅当 X − − --> A {\displaystyle X-A} 是闭集。

从 闭集 定义 闭包 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的闭包 A ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {A}}} 等于包含A的所有闭集之交。

邻域公理

X {\displaystyle X} 的映射 U : X → → --> P ( P ( X ) ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))} （ P ( P ( X ) ) {\displaystyle P(P(X))} 指 X {\displaystyle X} 的幂集的幂集）。这样 U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} 将 X {\displaystyle X} 的每个点 x {\displaystyle x} 映射至 X {\displaystyle X} 的子集族 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 。 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 称为 x {\displaystyle x} 的 邻域系 （ U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 的元素称为 x {\displaystyle x} 的 邻域 ），当且仅当对任意的 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in X} ， U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 满足如下 邻域公理 ：

U 1 ：若 U ∈ ∈ --> U ( x ) {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)} ，则 x ∈ ∈ --> U {\displaystyle x\in U} 。

U 2 ：若 U , V ∈ ∈ --> U ( x ) {\displaystyle U,V\in {\mathfrak {U}}(x)} ，则 U ∩ ∩ --> V ∈ ∈ --> U ( x ) {\displaystyle U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)} 。（邻域系对邻域的有限交封闭）。

U 3 ：若 U ∈ ∈ --> U ( x ) {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)} ， U ⊆ ⊆ --> V ⊆ ⊆ --> X {\displaystyle U\subseteq V\subseteq X} ，则 V ∈ ∈ --> U ( x ) {\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(x)} 。

U 4 ：若 U ∈ ∈ --> U ( x ) {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)} ，则存在 V ∈ ∈ --> U ( x ) {\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(x)} ，且 V ⊆ ⊆ --> U {\displaystyle V\subseteq U} ，使对所有 y ∈ ∈ --> V {\displaystyle y\in V} ，有 U ∈ ∈ --> U ( y ) {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(y)} 。

从邻域出发定义其它概念：

从 邻域 定义 开集 ： X {\displaystyle X} 的子集 O {\displaystyle O} 是开集，当且仅当对任意 x ∈ ∈ --> O {\displaystyle x\in O} ，有 O ∈ ∈ --> U ( x ) {\displaystyle O\in {\mathfrak {U}}(x)} 。（ O {\displaystyle O} 是其中每个点的邻域）。

从 邻域 定义 开核 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的开核 A ∘ ∘ --> = { x | ∃ ∃ --> U ∈ ∈ --> U ( x ) , U ⊆ ⊆ --> A } {\displaystyle A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}} 。

从 邻域 定义 闭包 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的闭包 A ¯ ¯ --> = { x | ∀ ∀ --> U ∈ ∈ --> U ( x ) , U ∩ ∩ --> A ≠ ≠ --> ∅ ∅ --> } {\displaystyle {\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}} 。

闭包公理

X {\displaystyle X} 的幂集 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 上的一元运算 c : P ( X ) → → --> P ( X ) {\displaystyle c:P(X)\to P(X)} （即将 X {\displaystyle X} 的子集A映射为 X {\displaystyle X} 的子集 c ( A ) {\displaystyle c(A)} ）称为 闭包运算 （像称为原像的 闭包 ）。当且仅当运算 c {\displaystyle c} 满足下述的 闭包公理 ：

A 1 ： A ⊆ ⊆ --> c ( A ) {\displaystyle A\subseteq c(A)} ；

A 2 ： c ( c ( A ) ) = c ( A ) {\displaystyle c(c(A))=c(A)} ；

A 3 ： c ( A ∪ ∪ --> B ) = c ( A ) ∪ ∪ --> c ( B ) {\displaystyle c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)} ；

A 4 ： c ( ∅ ∅ --> ) = ∅ ∅ --> {\displaystyle c(\varnothing )=\varnothing } 。

集合 A {\displaystyle A} 的闭包通常记为 A ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {A}}} 。

从闭包出发定义其它概念：

从 闭包 定义 闭集 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 是闭集，当且仅当 A = A ¯ ¯ --> {\displaystyle A={\overline {A}}} 。

从 闭包 定义 开核 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的开核 A ∘ ∘ --> = X − − --> X − − --> A ¯ ¯ --> {\displaystyle A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}} 。

从 闭包 定义 邻域 ： X {\displaystyle X} 的子集 U {\displaystyle U} 是点 x {\displaystyle x} 的邻域，当且仅当 x ∉ ∉ --> X − − --> U ¯ ¯ --> {\displaystyle x\notin X-{\overline {U}}} 。

开核公理

X {\displaystyle X} 的幂集 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 上的一元运算 o : P ( X ) → → --> P ( X ) {\displaystyle o:P(X)\to P(X)} （即将 X {\displaystyle X} 的子集A映射为 X {\displaystyle X} 的子集 o ( A ) {\displaystyle o(A)} ）称为 开核运算 （像称为原像的 开核 或 内部 ）。当且仅当运算 o {\displaystyle o} 满足如下 开核公理 ：

I 1 ： o ( A ) ⊆ ⊆ --> A {\displaystyle o(A)\subseteq A} ；

I 2 ： o ( o ( A ) ) = o ( A ) {\displaystyle o(o(A))=o(A)} ；

I 3 ： o ( A ∩ ∩ --> B ) = o ( A ) ∩ ∩ --> o ( B ) {\displaystyle o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)} ；

I 4 ： o ( X ) = X {\displaystyle o(X)=X} 。

集合 A {\displaystyle A} 的开核通常记为 A ∘ ∘ --> {\displaystyle A^{\circ }} 。 （显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：

从 开核 定义 开集 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 是开集，当且仅当 A = A ∘ ∘ --> {\displaystyle A=A^{\circ }} 。

从 开核 定义 邻域 ： X {\displaystyle X} 的子集 U {\displaystyle U} 是点 x {\displaystyle x} 的邻域，当且仅当 x ∈ ∈ --> U ∘ ∘ --> {\displaystyle x\in U^{\circ }} 。

从 开核 定义 闭包 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的闭包 A ¯ ¯ --> = X − − --> ( X − − --> A ) ∘ ∘ --> {\displaystyle {\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }} 。

导集公理

X {\displaystyle X} 的幂集 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 上的一元运算 d : P ( X ) → → --> P ( X ) {\displaystyle d:P(X)\to P(X)} （即将 X {\displaystyle X} 的子集A映射为 X {\displaystyle X} 的子集 d ( A ) {\displaystyle d(A)} ）称为 导集运算 （像称为原像的 导集 ），当且仅当 d {\displaystyle d} 满足以下 导集公理 ：

D 1 ： d ( ∅ ∅ --> ) = ∅ ∅ --> {\displaystyle d(\varnothing )=\varnothing } ；

D 2 ： d ( A ) = d ( d ( A ) ) {\displaystyle d(A)=d(d(A))} ；

D 3 ： ∀ ∀ --> x ∈ ∈ --> X , d ( A ) = d ( A − − --> { x } ) {\displaystyle \forall x\in X,d(A)=d(A-\{x\})} ；

D 4 ： d ( A ∩ ∩ --> B ) = d ( A ) ∩ ∩ --> d ( B ) {\displaystyle d(A\cap B)=d(A)\cap d(B)}

从导集出发定义其它概念：

从 导集 定义 闭集 ： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 是闭集，当且仅当 d ( A ) ⊆ ⊆ --> A {\displaystyle d(A)\subseteq A} 。

拓扑之间的关系

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 的每一个开集都是拓扑 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 的开集时，称拓扑 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 比拓扑 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 更 细 ，或称拓扑 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 比拓扑 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 更 粗 。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

连续映射与同胚

类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

拓扑空间上的一个映射 f {\displaystyle f} 称为 连续映射 ，当且仅当它满足以下条件之一：

f {\displaystyle f} 对任何开集的原像是开集。（这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。）

f {\displaystyle f} 对任何闭集的原像是闭集。

对点 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的任一邻域 V {\displaystyle V} ，都存在点 x {\displaystyle x} 的一个邻域 U {\displaystyle U} ，使得 f ( U ) ⊂ ⊂ --> V {\displaystyle f(U)\subset V} ，则称 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在点 x {\displaystyle x} 连续，而连续映射即点点连续的映射。

对任一集合 A {\displaystyle A} ， f ( A ¯ ¯ --> ) ⊆ ⊆ --> f ( A ) ¯ ¯ --> {\displaystyle f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}} 成立。

对任一集合 A {\displaystyle A} ， f − − --> 1 ( A ∘ ∘ --> ) ⊆ ⊆ --> ( f − − --> 1 ( A ) ) ∘ ∘ --> {\displaystyle f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }} 成立。

同胚映射 是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是 同胚的 。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间范畴

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了 拓扑空间范畴 ，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

相关概念

基本概念

给定拓扑空间(X,τ)，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：

网

网 的目的在推广序列及极限，网的收性称作 Moore-Smith收敛 。其关键在于以有向集合代替自然数集 N {\displaystyle \mathbb {N} } 。

空间 X {\displaystyle X} 上的一个网 ( x α α --> ) α α --> ∈ ∈ --> A {\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}} 是从有向集合 A {\displaystyle A} 映至 X {\displaystyle X} 的映射。

若存在 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in X} ，使得对每个 x {\displaystyle x} 的邻域 U {\displaystyle U} 都存在 β β --> ∈ ∈ --> A {\displaystyle \beta \in A} ，使得 α α --> ≥ ≥ --> β β --> ⇒ ⇒ --> x α α --> ∈ ∈ --> U {\displaystyle \alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U} ，则称网 ( x α α --> ) α α --> ∈ ∈ --> A {\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}} 收敛至 x {\displaystyle x} 。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

拓扑空间的例子

实数集 R 构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集 R 上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。

更一般的，n维欧几里得空间 R 构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。

任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。

任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。

除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[ a , b )生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。

流形都是一个拓扑空间。

每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。

每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。

扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数簇之上。对 R 或者 C 来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。

线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。

泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛。

有限补拓扑 。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为 有限补空间 。有限补空间是这个集合上最小的T 1拓扑。

可数补拓扑 。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为 可数补空间 。

如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间( a , b ]生成，此处 a 和 b 是Γ的元素。

例子

X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = { ∅ , X } 会形成一个平庸拓扑。

X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = { ∅ ,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。

X = ℤ （整数集合）及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身 不是 一个拓扑，因为（例如）所有不包含零的有限集合的并集是无限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 内。

1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。

2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。

3个元素的集上总拓扑数只有29个。

4个元素的集上总拓扑数只有355个。

n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的总拓扑29个具体如下：

{∅, X}

{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}

{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}

{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}

{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X} {∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}

{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}

{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}

{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X} {∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}

{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓扑空间的构造

拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。

对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。

商拓扑可以被如下地定义出来：若 X 是一个拓扑空间， Y 是一个集合，如果 f : X → Y 是一个满射，那么 Y 获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用 f 自然投影确定下 X 上的等价类，从而给出拓扑空间 X 上的一个等价关系。

Vietoris拓扑

拓扑空间的分类

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

分离公理

详细资料请参照 分离公理 以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

可数公理

连通性

紧性

（详细资料请参照紧集）

可度量化

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是 Urysohn度量化定理 ：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

拥有代数结构的拓扑空间

对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群 G {\displaystyle G} 乃是一个拓扑空间配上连续映射 m : G × × --> G → → --> G {\displaystyle m:G\times G\rightarrow G} （群乘法）及 i : G → → --> G {\displaystyle i:G\rightarrow G} （逆元），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

拥有序结构的拓扑空间

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

谱空间（spectral space）上的序结构。

特殊化预序：定义 x ≤ ≤ --> y ⇔ ⇔ --> c l ( x ) ⊂ ⊂ --> c l ( y ) {\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)} 。常见于计算机科学。

历史

参见拓扑学。

外部链接

n个元素的集上总拓扑数规律

整数数列线上大全:OEIS-A000798.

参考书目

John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.

James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.

点集拓扑学初步 /江泽涵著. -上海:上海科学技术出版社, 1979年1月。

点集拓扑学基础 / 吴东兴著. -北京: 科学出版社, 1981年3月。

点集拓扑学原理 / 鲍姆著;蒲思立译. -北京:人民教育出版社, 1981年6月。

一般拓扑学 / 李普舒茨著;陈昌平等译. -上海: 华东师大出版社, 1982年1月。

一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛，吴让泉译. -北京: 科学出版社, 1982年5月。

拓扑学引论 / 本特·门德尔森著;陈明蔚译. -南宁:广西人民出版社, 1983年1月。

基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著;孙以丰译. -北京:北京大学出版社, 1983年1月。

点集拓扑学 / 方嘉琳编著. -沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。

拓扑学的基础和方法 / 野口宏著;郭卫中，王家彦译. -北京: 科学出版社, 1986年3月。

拓扑学初步 /苏步青著. -上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。

拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. -北京: 科学出版社, 1987年8月。

基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫著. -北京:高等教育出版社, 1991年1月。

一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光著. -成都: 四川教育出版社, 1991年3月。

拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著;盛立人等译. -北京:高等教育出版社, 1992年9月。

基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. -北京:北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.

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