定义

假设对于数论函数f(n)和F(n)，有以下关系式：

F(n)=∑ ∑ -->d|nf(d){\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)}

则将其默比乌斯反转公式定义为：

f(n)=∑ ∑ -->d|nμ μ -->(d)F(nd){\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)}

一般形式

设F(x){\displaystyle F(x)}及G(x){\displaystyle G(x)}为定义在[1,∞ ∞ -->){\displaystyle [1,\infty )}上的复值函数并且

G(x)=∑ ∑ -->1⩽ ⩽ -->n⩽ ⩽ -->xF(xn){\displaystyle G(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}F\left({\frac {x}{n}}\right)}

则

F(x)=∑ ∑ -->1⩽ ⩽ -->n⩽ ⩽ -->xμ μ -->(n)G(xn){\displaystyle F(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}

参见

默比乌斯函数

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