赋范线性空间

从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。

泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*-代数和其他算子代数的基本概念。

希尔伯特空间

希尔伯特空间（ Hilbert ）可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为ℵ 0 ）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

巴拿赫空间

一般的巴拿赫空间（ Banach ）比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。

对于每个实数 p {\displaystyle p} ，如果 p ≥ ≥ --> 1 {\displaystyle p\geq 1} ，一个巴拿赫空间的例子是绝对值绝对值的 p {\displaystyle p} 积分的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）

在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

主要结果和定理

泛函分析的主要定理包括：

一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。

谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。

哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。

开映射定理和闭图像定理。

泛函分析与选择公理

泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn"s Lemma）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建于哈恩-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布尔素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。

泛函分析的研究现状

泛函分析目前包括以下分支：

软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。

巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。

非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。

与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。

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