不相交的线

已知在双曲几何上，至少有两条直线满足过P点平行直线R。接着在R上取一点B使得PB垂直R于B点，设在所有满足过P点且不与R相交的直线中，存在一条直线x与PB的逆时针方向夹角比其他直线都来的小，即任何一条直线若与PB的逆时针夹角小于x与PB的逆时针夹角，则必与R相交，并定义x为R的渐近线。同理，若存在另一条直线y与PB的顺时针方向夹角比其他直线都来的小，则y为R的另一条渐进线。并且，在所有满足过P点且不与R相交的直线中，唯有x与y是R的渐近线，其余的则称之为R的超平行线。由于满足小于90°且大于x与PB的夹角θ的角度有无线多个，每个角度皆可引出两条R的超平行线，因此R有无线多条超平行线。

因此，对于平面上一条直线R以及线外的一点P，恰能引出两条直线过P且渐近于R，以及无限多条直线过P超平行于R。

此外，渐进线和超平行线的差别还有：不论往线的哪端延伸，两条超平行线之间的距离皆会趋近于无限；但两条件渐近之间的距离则会在一端趋近于零，在另一端趋近无限。从而，在双曲几何中有一定理超平行线定理：对于任两条超平行线存在唯一一条线同时垂直于这两条线。

对双曲平面上的一条直线R，作线段BP垂直R于B点，且线段BP的长度等于一个给定的值p，则定义两条R的过P点的渐近线与线段BP的夹角θ为p的渐近角（Angle of parallelism），通常记为Π（p）。因此有

于是，随着线段长度的缩小，双曲几何的性质会越来越像欧几里得几何。事实上，对任一个双曲几何定义一个定值K=高斯曲率，借由线段长度与1− − -->K{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}}的比值，由此可知该平面的性质与欧几里得几何的相似度。

三角形

在双曲几何中，线段长度的定义为两点的最短距离除以R=1− − -->K{\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}，K=高斯曲率，正如同在球面几何中的长度为其圆心角弧度（最短距离除以曲率），有了长度的定义后，便可给出双曲几何中的勾股定理：若一直角三角形的两股长分别为a和b，斜边为c，则

在此，cosh指的是双曲余弦函数。

在双曲几何中，许多双曲三角学公式与欧几里得几何十分相像，大抵上双曲几何中的长度需带入双曲函数。例如双曲几何中的正弦定律为：

不同于欧几里得几何，双曲几何中三角形的内角和必小于π(180°)，故称其内角和与π的差为该三角形的角亏，则该三角形的面积等于该三角形的角亏乘以 R²，而R=1− − -->K{\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}。故所有三角形的面积均小于等于πR²，且等号成立当且仅当该三角形为理想三角形。

圆与球

以下的圆或球半径皆为 r ，并且 K 代表高斯曲率， R 代表 1− − -->K{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}}

双曲几何中圆的周长为2π π -->Rsinh⁡ ⁡ -->rR{\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,}

因为sinh x的泰勒展开式为

于是，对所有实数 x，sinhx>x{\displaystyle sinhx>x}，推得 sinh⁡ ⁡ -->rR>rR{\displaystyle \sinh {\frac {r}{R}}>{\frac {r}{R}}}

故圆的周长必大于 2π π -->r{\displaystyle 2\pi r}。

圆的面积则是 2π π -->R2(cosh⁡ ⁡ -->rR− − -->1){\displaystyle 2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)}。

球的表面积为 4π π -->R2sinh2⁡ ⁡ -->rR{\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}} ，必大于欧几里得几何的 4π π -->r2{\displaystyle 4\pi r^{2}}

球的体积为 π π -->R3sinh⁡ ⁡ -->2rR− − -->2π π -->R2r{\displaystyle \pi R^{3}\sinh {\frac {2r}{R}}-2\pi R^{2}r}

在n度空间中，定义 Ω_n 是n维立体角，满足 Ω Ω -->n=2π π -->n/2Γ Γ -->(n2){\displaystyle \Omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}

在此，Γ(n)是Γ函数。

则n-1维球面(在n度空间中)的测度是 Ω Ω -->nRn− − -->inhn− − -->1⁡ ⁡ -->rR{\displaystyle \Omega _{n}R^{n-1}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}}

n维球(在n度空间中)的测度则是 Ω Ω -->nRn− − -->1∫ ∫ -->0rsinhn− − -->1⁡ ⁡ -->sRds{\displaystyle \Omega _{n}R^{n-1}\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}{\frac {s}{R}}ds}

罗式几何

此图为一三角形于一双曲抛物面上，另外右下方有两条在欧式几何中应平行的分流线。

罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。

凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：

欧式几何：

罗式几何

从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和大众所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用大众习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何，便是正确的。

1868年，意大利数学家贝尔特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

参见

欧式几何

非欧几何

黎曼几何

球面几何

参考资料

/~rkenyon/papers/cannon.pdf

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