概述

一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流乘以回路面积：

其中， μ μ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 为磁偶极矩， I {\displaystyle I\,\!} 为电流， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 为面积矢量。磁偶极矩、面积矢量的方向是由右手定则决定。

处于外磁场的载流循环，其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为：

其中， τ τ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 为力矩， B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 为磁场， U {\displaystyle U\,\!} 为势能。

许多基本粒子，例如电子，都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源，许多物理现象也和此有关。这种磁矩和经典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有关，必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的，最小的基本单位，常常称为“磁子”（ magneton ）。例如，电子自旋的磁矩与玻尔磁子的关系式为：

其中， μ μ --> s {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!} 为电子自旋的磁矩，电子自旋g因子 g s {\displaystyle g_{s}\,\!} 是一项比例常数， μ μ --> B {\displaystyle \mu _{B}\,\!} 为玻尔磁子， S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} 为电子的自旋， ℏ ℏ --> {\displaystyle \hbar \,\!} 是约化普朗克常数。

单位

采用国际单位制，磁偶极矩的量纲是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法：

CGS单位制又可细分为几种亚单位制：静电单位制（ electrostatic units ），电磁单位制（ electromagnetic units ）、高斯单位制。

磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分／秒的光速。

在这篇文章内，所有的方程都采用国际单位制。

两种磁源

在任何物理系统里，磁矩最基本的源头有两种：

电荷的运动，像电流，会产生磁矩。只要知道物理系统内全部的电流密度分布（或者所有的电荷的位置和速度），理论上就可以计算出磁矩。

像电子、质子一类的基本粒子会因自旋而产生磁矩。每一种基本粒子的内禀磁矩的大小都是常数，可以用理论推导出来，得到的结果也已经通过做实验核对至高准确度。例如，电子磁矩的测量值是−9.284764×10 焦耳／特斯拉 。磁矩的方向完全决定于粒子的自旋方向（电子磁矩的测量值是负值，这意味着电子的磁矩与自旋呈相反方向）。

整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的矢量和。例如，氢原子的磁场是以下几种磁矩的矢量和：

电子的自旋。

电子环绕着质子的轨域运动。

质子的自旋。

再举个例子，构成条形磁铁的物质，其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的矢量和，是条形磁铁的磁矩。

计算磁矩的方程

平面循环

  假设一个平面载流循环的面积矢量为 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 、所载电流为 I {\displaystyle I\,\!} ，则其磁偶极矩为 μ μ --> = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} 。

对于最简单的案例，平面载流循环的磁偶极矩 μ μ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 是

其中， I {\displaystyle I\,\!} 是循环所载有的恒定电流， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是平面循环的面积矢量。

面积矢量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出：令四只手指朝着电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积矢量的方向，也是磁偶极矩的方向。

这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持 μ μ --> = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} 不变，则所有更高阶的磁矩会趋向于零，这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子，或纯磁偶极子。

任意回路

对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流 I {\displaystyle I\,\!} ，则其磁偶极矩为

其中， S {\displaystyle \mathbb {S} \,\!} 是积分曲面， C {\displaystyle \mathbb {C} \,\!} 是 S {\displaystyle \mathbb {S} \,\!} 边缘的闭合回路， d a {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!} 是微小面积元素， d ℓ ℓ --> {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} 是微小线元素， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是 d ℓ ℓ --> {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} 的位置。

引用矢量恒等式

即可得到磁偶极矩的路径积分方程

任意电流分布

对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为

其中， V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 是积分体积， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是源电流位置， J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 是电流密度， d V {\displaystyle \mathrm {d} V\,\!} 是微小体积元素。

任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程计算出其磁偶极矩。

基本粒子

在原子物理学和核子物理学里，磁矩的大小标记为 μ μ --> {\displaystyle \mu \,\!} ，通常测量单位为玻尔磁子或核磁子（ nuclear magneton ）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：

欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度。

载流回路产生的磁场

  磁偶极子的磁场线。从侧面望去，磁偶极子竖立于绘图的中央。

载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是，随着距离的增远，这些多极项目会更快速地减小，因此，在远距离位置，只有偶极项目是磁场的显要项目。

思考一个载有恒定电流 I {\displaystyle I\,\!} 的任意局域回路 C {\displaystyle \mathbb {C} \,\!} ，其磁矢势 A {\displaystyle \mathbf {A} \,\!} 为

其中， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是检验位置， r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "\,\!} 是源头位置，是微小线元素 d ℓ ℓ --> ′ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,"\,\!} 的位置， μ μ --> 0 {\displaystyle \mu _{0}\,\!} 是磁常数。

假设检验位置足够远， r > r ′ {\displaystyle r>r"\,\!} ，则表达式 1 | r − − --> r ′ | {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} "|}}泰勒\!} 可以泰勒展开为

其中， P n ( cos ⁡ ⁡ --> θ θ --> ′ ) {\displaystyle P_{n}(\cos \theta ")\,勒让德多项式勒让德多项式， θ θ --> ′ {\displaystyle \theta "\,\!} 是 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 与 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "\,\!} 之间的夹角。

所以，磁矢势展开为

思考 n = 0 {\displaystyle n=0\,\!} 项目，也就是磁单极子项目：

由于闭合回路的矢量线积分等于零，磁单极子项目恒等于零。

再思考 n = 1 {\displaystyle n=1\,\!} 项目，也就是磁偶极子项目：

注意到磁偶极矩为 μ μ --> = I ∮ S ′ d a ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} "}\mathrm {d} \mathbf {a} "\,\!} ，偶极磁矢势可以写为

偶极磁场 B 1 {\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!} 为

由于磁偶极子的矢势有一个奇点在它所处的位置（原点 O {\displaystyle \mathbf {O} } ），必须特别小心地计算，才能得到正确答案。更仔细地推导，可以得到磁场为

其中， δ δ --> 3 ( r ) {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}狄拉克狄拉克δ函数。

偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂，因而形成了超精细结构（ hyperfine structure ） 。在天文学里，氢原子的超精细结构给出了21公分谱线，在电磁辐射的无线电波范围，是除了3K背景辐射以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元（ recombination ）至再电离纪元（ reionization ）之间的天文学研究，只能依靠观测21公分谱线无线电波。

给予几个磁偶极矩，则按照叠加原理，其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总矢量和。

处于外磁场的磁偶极子

磁偶极子感受到的磁力矩

  处于均匀磁场的一个方形载流循环。

如图右，假设载有电流 I {\displaystyle I\,\!} 的一个方形循环处于外磁场 B = B 0 z ^ ^ --> {\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。方形循环四个边的边长为 w {\displaystyle w\,\!} ，其中两个与 y ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!} 平行的边垂直于外磁场，另外两个边与磁场之间的夹角角弧为 − − --> θ θ --> + π π --> / 2 {\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!} 。

垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为

另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为 μ μ --> = I w 2 μ μ --> ^ ^ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!} 。所以，这循环感受到的磁力矩为

令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持 μ μ --> = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} 不变，则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以，处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程表示。

当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值 μ μ --> B 0 {\displaystyle \mu B_{0}\,\!} ；当磁偶极矩与磁场平行时，磁力矩等于零。

磁偶极子的势能

将载流循环从角弧 θ θ --> 1 {\displaystyle \theta _{1}\,\!} 扭转到角弧 θ θ --> 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} ，磁场所做的机械功 W {\displaystyle W\,\!} 为

注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向，而 θ θ --> {\displaystyle \theta \,\!} 是朝着顺时针方向递增，所以必须添加一个负号。设定 θ θ --> 1 = π π --> / 2 {\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!} ，则

对抗这磁场的磁力矩，将载流循环从角弧 π π --> / 2 {\displaystyle \pi /2\,\!} 扭转到角弧 θ θ --> 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} ，所做的机械功 W a {\displaystyle W_{a}\,\!} 为

定义载流循环的势能 U {\displaystyle U\,\!} 等于这机械功 W a {\displaystyle W_{a}\,\!} ，以方程表示为

与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值 − − --> μ μ --> B 0 {\displaystyle -\mu B_{0}\,\!} ；当磁偶极矩与磁场呈相反方向时，势能是最大值 μ μ --> B 0 {\displaystyle \mu B_{0}\,\!} 。

非均匀磁场

假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路 C ′ {\displaystyle \mathbb {C} "\,\!} 的磁场力等于零：

假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同 。采用常见的“电流模型”，则一个磁偶极子所感受到的磁场力为

另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为

两者之间的差别为

假设，电流等于零，电场不含时间，则根据麦克斯韦-安培方程，

两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子的散射于铁磁性物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合 。

范例

圆形载流循环的磁偶极矩

一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培电流，半径 r ′ {\displaystyle r"\,\!} 为0.05米的单匝圆形载流循环，其磁偶极矩为：

磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩，可以用来建立以下几点论据：

假设场位置的距离 r {\displaystyle r\,\!} 超远于循环半径 r ′ = 0.05 m {\displaystyle r"=0.05\ \mathrm {m} \,\!} ，则磁场会呈反立方减弱：

假设在地球的某地方，地磁场 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} 的数值大约为0.5高斯（5×10 特斯拉），而且循环磁矩垂直于地磁场 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} ，则此循环所感受到的力矩为

应用力矩的观念，可以制造出罗盘。假设这罗盘的磁针，由于力矩的作用，从磁针的磁矩垂直于地磁场 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} ，旋转至磁针的磁矩与地磁场 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} 呈相同方向，则这罗盘-地球系统释放出的能量 U {\displaystyle U\,\!} 为

螺线管的磁矩

  螺线管三维电脑绘图。

一个多匝线圈（或螺线管）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的矢量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和储存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。

假设螺线管的匝数为 N {\displaystyle N\,\!} ，每一匝线圈面积为 a {\displaystyle a\,\!} ，通过电流为 I {\displaystyle I\,\!} ，则其磁矩为

载电粒子圆周运动的磁矩

假设，一个点电荷 q {\displaystyle q\,\!} 以等速 v {\displaystyle v\,\!} 绕着z-轴，移动于半径为 r {\displaystyle r\,\!} 的平面圆形路径，则其电流为

其磁矩为

其角动量 J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 为

其中， m {\displaystyle m\,\!} 是载电粒子的质量。

所以，磁矩与角动量的经典关系为

对于电子，这经典关系为

其中， m e {\displaystyle m_{e}\,\!} 是电子的质量， e {\displaystyle e\,\!} 是电子的绝对电量。

假设，这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力，

其中， ϵ ϵ --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\,\!} 是电常数。

现在施加外磁场 B = B z ^ ^ --> {\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 于此氢原子，则会有洛伦兹洛伦兹力作用于电子。假设轨道半径不变（这只是一个粗略计算），只有电子的速度改变为 v B {\displaystyle v_{B}\,\!} ，则

所以，

假设，两个速度的差别 Δ Δ --> v = v B − − --> v {\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!} 超小，则

所以，由于施加外磁场 B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} ，磁矩的变化为

注意到 Δ Δ --> μ μ --> {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 与 B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 呈相反方向，因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。

为了简略计算，使用半经典方法 ，可以求出磁矩的变化为

其中， 〈 〈 --> r 2 〉 〉 --> {\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!} 是半径平方的期望值。

电子的磁矩

电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性，涉及到量子力学。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩（ electron magnetic dipole moment ）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振。

电子的磁矩是

其中， g e {\displaystyle g_{e}\,\!} 是电子的朗德g因子， μ μ --> B = e ℏ ℏ --> / 2 m e {\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!} 是玻尔磁子， S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} 是电子的自旋角动量。

按照前面计算的经典结果， g e = 1 {\displaystyle g_{e}=1\,\!} ；但是，在狄拉克力学里， g e = 2 {\displaystyle g_{e}=2\,\!} ；更准确地，由于量子电动力学效应，它的实际値稍微大些， g S = 2.002 319 304 36 {\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!} 。

请注意，由于这方程内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学的解释为：假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子（电子的反粒子），其磁矩与自旋呈相同方向。

原子的磁矩

在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合（ angular momentum coupling ）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩 μ μ --> {\displaystyle \mu \,\!} 与总角动量 J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 的关系为

其中， g J {\displaystyle g_{J}\,\!} 是原子独特的朗德g因子。

磁矩对于磁场方向的分量 μ μ --> z {\displaystyle \mu _{z}\,\!} 是

其中， J z = J m ℏ ℏ --> {\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!} 是总角动量对于磁场方向的分量， J m {\displaystyle J_{m}\,\!}磁量子数量子数，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。

因为电子带有负电荷，所以 μ μ --> z {\displaystyle \mu _{z}\,\!} 是负值。

处于磁场的磁偶极子的动力学，不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依著磁场线排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程表达为

其中， γ γ --> {\displaystyle \gamma \,\!} 是回转磁比率（ gyromagnetic ratio ） ， H {\displaystyle \mathbf {H} \,\!} 是磁场。

注意到这方程的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：

其中， H e f f {\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!} 是有效磁场（外磁场加上任何自身场）， λ λ --> {\displaystyle \lambda \,\!}阻尼是阻尼系数。

这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程（ Landau–Lifshitz–Gilbert equation ） ：

方程右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程是研究磁化动力学最基本的方程之一。

原子核的磁矩

核子系统是一种由核子（质子和中子）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。

虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。

分子的磁矩

任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：

假若有未配对电子，则是其自旋所产生的磁矩（顺磁性贡献）

电子的轨域运动，处于基态时，所产生常与外磁场成正比的磁矩（抗磁性贡献）

依照核自旋组态，核自旋所产生的总磁矩。

分子磁性范例

氧分子，O 2 ，由于其最外面的两个未配对电子的自旋，具有强顺磁性。

二氧化碳分子，CO 2 ，由于电子轨域运动而产生的，与外磁场成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有状况下，假若这分子是由具磁性的同位素组成，像 C或 O，则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。

氢分子，H 2 ，处于一个弱磁场（或零磁场），会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体，正氢或仲氢，都具有这种物理性质。

参阅

电偶极矩

磁化强度

磁化率

球多极矩

绝热不变数

磁偶极间相互作用（ Magnetic dipole-dipole interaction ）

参考文献

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