形式化定义

设 (M,g){\displaystyle (M,g)} 为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络∇ ∇ -->{\displaystyle \nabla } 在满足以下条列维是列维-奇维塔联络。

无挠率：也就是，对任何向量场 X,Y{\displaystyle X,Y} 我们有 ∇ ∇ -->XY− − -->∇ ∇ -->YX=[X,Y]{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}，其中 [X,Y]{\displaystyle [X,Y]} 是向量场X{\displaystyle X} 和 Y{\displaystyle Y} 的李括号。

与度量相容：也就是,对任何向量场 X,Y,Z{\displaystyle X,Y,Z}我们有 Xg(Y,Z)=g(∇ ∇ -->XY,Z)+g(Y,∇ ∇ -->XZ){\displaystyle Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}，其中 Xg(Y,Z){\displaystyle Xg(Y,Z)} 表示函数 g(Y,Z){\displaystyle g(Y,Z)} 沿向量场 X{\displaystyle X} 的导数。

沿曲线的导数

列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用 D{\displaystyle D} 表示。

给定一个在 (M,g){\displaystyle (M,g)} 上的光滑曲线γ γ -->{\displaystyle \gamma }和γ γ -->{\displaystyle \gamma 向量场的一个向量场V{\displaystyle V}，其导数定义如下

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。