形式定义

设 k{\displaystyle k} 为一个域，A{\displaystyle A} 为有限维 k{\displaystyle k}-代数。对任一元素 α α -->∈ ∈ -->A{\displaystyle \alpha \in A}，集合 {1,α α -->,α α -->2,… … -->}{\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \}} 张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系 ：

可以假设 cn=1{\displaystyle c_{n}=1}，此时多项式 f(X):=∑ ∑ -->i=0nciXi{\displaystyle f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}} 满足 f(α α -->)=0{\displaystyle f(\alpha )=0}。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为 α α -->{\displaystyle \alpha } 的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等于 dimk⁡ ⁡ -->k[α α -->]{\displaystyle \dim _{k}k[\alpha ]}，而且 α α -->{\displaystyle \alpha } 可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零，此时 α α -->− − -->1{\displaystyle \alpha ^{-1}} 可以表成 α α -->{\displaystyle \alpha } 的多项式。

矩阵的极小多项式

考虑所有 n× × -->n{\displaystyle n\times n}矩阵构成的 k{\displaystyle k}-代数 Mn(k){\displaystyle M_{n}(k)}，由于 dim⁡ ⁡ -->Mn(k)=n2{\displaystyle \dim M_{n}(k)=n^{2}}，此时可定义一个n× × -->n{\displaystyle n\times n} 矩阵之极小多项式，而且其次数至多为 n2{\displaystyle n^{2凯莱；哈密顿，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为 n{\displaystyle n}，且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论（若尔当标准型、有理标准形）的关键。

极小多项式与代数扩张

设 k′{\displaystyle k"} 为 k{\displaystyle k} 的有限扩张，此时可视 k′{\displaystyle k"} 为有限维 k{\displaystyle k}-代数。根据域的性质，极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。

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