量子力学中的对称性

在量子力学和量子场论里，我们用一个矢量（右矢）来表征一个或多个粒子或场的量子态。任何对称操作，比如“将所有粒子和场在时间的方向上都向前移动5秒”，或者是“将粒子和场通过洛伦兹变换变换到在x轴方向以5m/s相对运动的参照系中”，这些都相当于希尔伯特空间上的一个操作T。这个操作T一定要是双映射的，因为任何一个量子态都必须有个唯一的的对应的变换后的态，反之亦然。还有，当一个系统初始状态为 y {\displaystyle y} 变换到状态 x {\displaystyle x} 的概率为 | ⟨ ⟨ --> x , y ⟩ ⟩ --> | 2 {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}} 。既然T是一个对称操作，那么一个系统初始状态为 T y {\displaystyle Ty} 变换到 T x {\displaystyle Tx} 的概率和前面是一样的；因此， | ⟨ ⟨ --> T x , T y ⟩ ⟩ --> | 2 = | ⟨ ⟨ --> x , y ⟩ ⟩ --> | 2 {\displaystyle |\langle Tx,Ty\rangle |^{2}=|\langle x,y\rangle |^{2}} 。于是，操作T就满足了魏格纳定理的假设。

根据魏格纳定理，T要么是幺正变换，要么是反幺正变换。在上面的两个例子里（时间变换和洛伦兹变换），T是幺正变换。而时间反演变换是一个典型的反幺正变换。

参考文献

Bargmann, V. "Note on Wigner"s Theorem on Symmetry Operations". Journal of Mathematical Physics Vol 5, no. 7, Jul 1964.

Molnar, Lajos. "An Algebraic Approach to Wigner"s Unitary-Antiunitary Theorem".arXiv:math/9808033

Simon, R., Mukunda, N., Chaturvedi, S., Srinivasan, V., 2008. Two elementary proofs of the Wigner theorem on symmetry in quantum mechanics. Phys. Lett. A 372, 6847–6852.

Mouchet, Amaury. "An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis". Physics Letters A 377 (2013) 2709-2711.hal.archives-ouvertes.fr:hal-00807644

参见

Particle physics and representation theory

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