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实变函数论

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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内容实数的构造有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。实数的有序性实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上限属性（英语：leastupperboundproperty）。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象（英语：mathematicalobject）。特别是许多泛函分析及算子理论（英语：operatortheo...

内容

实数的构造

有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。

实数的有序性

实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上限属性（英语：least upper bound property）。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象（英语：mathematical object）。特别是许多泛函分析及算子理论（英语：operator theory）中的概念是来自实数中概念的扩展，这类的扩展包括里斯空间（英语：Riesz space）及正算子（英语：positive operator）的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部，例如算子数列的逐点评估（英语：strong operator topology）。

序列

序列是一个定义域为可数全序集合的函数，多半会让定义域是自然数或是所有整数。例如，一个实数的序列为以下定义的映射a:N→ → -->R, n↦ ↦ -->an{\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto a_{n}}，常会表示为(an)=(an)n∈ ∈ -->N=(a1,a2,a3,⋯ ⋯ -->){\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}。极限序列会慢慢的接近一个极限（也就是存在limn→ → -->∞ ∞ -->an{\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} ），称此序列为收敛，否则则称此序列为发散。

极限

极限是指函数或序列在其输入接近一定值时，其输出数值所接近的特定定值。极限是微积分学及广义数学分析的基础，连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。

连续函数

若函数的输入及输出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说，若函数图形是一条连续未分割的曲线，其中没有“洞”或是“断点”，函数即为连续函数。

针对上述粗略的定义，在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的，因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续，在以下的定义中

是一个定义在实数R以内子集的函数，子集I称为函数f的定义域。子集I的一些可能选择包括I=R（所有实数）、以下的开区间

或闭区间

因此a及b是实数。

一致连续是连续函数中，比连续函数更强的性质。若X和Y是实数子集，函数f : X → Y为一致连续的条件是针对所有大于0的实数ε，存在一实数δ > 0，使得针对所有的x, y ∈ X, |x − y| δ即表示 implies |f(x) − f(y)| ε.

一致连续和每一点连续的差异在一致连续时，δ值只和ε值有关，和该值在定义域中的位置无关。一般情况下，连续不意味着均匀连续。

级数

给定一无穷序列(an){\displaystyle (a_{n})}，即可定义相关的级数为a1+a2+a3+⋯ ⋯ -->=∑ ∑ -->n∈ ∈ -->Nan{\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}，有时会简称为∑ ∑ -->an{\textstyle \sum a_{n}}。级数的部分和∑ ∑ -->an{\textstyle \sum a_{n}}为sn=∑ ∑ -->j=1naj{\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}。级数∑ ∑ -->an{\textstyle \sum a_{n}}收敛的条件是部分和的数列(sn){\displaystyle (s_{n})}收敛，否则级数即称为发散。收敛级数的和s=∑ ∑ -->n=1∞ ∞ -->an{\textstyle s=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}定义为s=limn→ → -->∞ ∞ -->sn{\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}.

等比数列的和就是一个收敛级数，也是芝诺悖论的基础：

以下的调和级数即为发散级数：

（此处=∞ ∞ -->{\displaystyle =\infty }不是严谨的表示方式，只是表示部分和会无限制的成长）

微分

函数f在a位置的导数为以下的函数极限

若导数在所有位置都存在，称函数为可微分，可以再继续计算函数的高阶导数。

也可以将函数依其微分分类来区分。分类C包括所有连续函数，分类C包括所有导数连续的可微函数，这类函数称为“连续可微”。分类C是指其导数在分类C中的函数。一般来说，分类C可以用递归方式定义，定义方式是宣告分类C是所有的连续函数，而分类C（k为正整数）是所有可微，而且其导数为C的函数。而分类C包括在分类C中，对所有的正整数k都成立。分类C是所有C的交集，其中k为所有的非负整数。C包括所有的解析函数，是分类C的严格子集。

积分

黎曼积分

黎曼积分定义函数的黎曼和，对应为一个区间内的标记分区（tagged partitions）。令[a,b]为实数下的封闭区间，则在区间[a,b]内的标记分区为有限数列

将区间[a,b]分隔为n个下标为i子区间[xi−1, xi]，每一个用不同的点ti ∈ [xi−1, xi]来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为

则和的每一项都是长方形的面积，其高为函数在给定子区间内，标示点的数值，宽和子区间的宽相等。令Δi = xi−xi−1为子区间i的宽，则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度 maxi=1...n Δi。函数f在区间[a,b]内的黎曼积分等于S若：

若选定的标示都是每个区间内函数的最大值（或最小值），黎曼积分就会成为上（或下）达布和，因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。

勒贝格积分

勒贝格积分是一种积分概念，可以将积分延伸到更大范围的函数，同时也拓展函数的定义域。

分布

分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。

和复变分析的关系

实变函数论是数学分析的一部分，探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数，多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中，很自然的会对全纯函数定义导数，全纯函数有许多有用的性质，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且满足柯西积分公式。