基本范围

该原理仅覆盖集理论，基数，序数和实数。从现实分析，更深层次的定理并没有包括在内。 几何的基础第四卷已在筹划，但作者的第三卷完成后智力枯竭。

理论基础

由于在理论上由库尔特·哥德尔（下同）的批评指出，不同于理论，下午的“logicistic”理论有没有“的语法明确说明”。另一种看法是，在理论上，（在模型论的意义上）解释的真值的符号的行为来表述“⊢”（真理断言），“〜”（逻辑非）和“V”（逻辑或）。

真值：PM嵌入“真”和“假”的概念，“原始命题”的概念。原料（纯）理论所不能提供形成了“原始命题”诚，符号本身可能是绝对武断和陌生的符号的含义。该理论将符号行为也只是如何基于理论的语法指定。再后来，通过“价值”的分配，模式将指定什么公式说的解释。因此，在正式的克莱尼符号下方设置，“解释”什么样的符号通常是指，并暗示他们如何最终被采用，在括号内，例如，“¬（不）”。但是，这是不是一个纯粹的理论。

正式的理论的当代建构

下面的理论是作为对比PM的logicistic理论。一个现代的形式系统将构造如下：

使用的符号：该组是开始集合，其它符号可以出现，而是仅由从这些开始码的定义。起始组可能是Kleene从中导出的以下一组：逻辑符号“→”（意味着，IF-THEN“⊃”），“＆”（和）中，“V”（或）“，¬”（不） “∀”（所有），“∃”（存在）;谓词符号“=”（等于）;函数符号“+”（算术加法），“∙”（算术乘法），“"”（继任者）;个别符号“0”（零）;变量“一”，“B”，“C”等;和括号“（”和“）”。 符号串：该理论将通过串联（并列）建立这些符号的“弦”. 形成规则：理论指定的语法规则（语法规则），通常为以“0”开头，并指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”（Wff）递归定义 这包括对于所谓的“变量”（相对于其他符号类型）中的符号串的规则对“替代”。 变换规则（S）：指定符号和符号序列的行为的公理。 推理，支队规则，肯定前件：允许理论从“前提”，导致到了“分离”一个“结论”的规则，并随后放弃“处所”（符号到行的左边│或符号线之上，如果水平）。如果不是这种情况，那么取代会导致在必须进行前向越来越长的字符串。事实上，假言推理的应用程序后，没有什么是离开，但结论，剩下的永远消失。 当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”： A，A⊃乙│乙 符号“│”通常写为水平线，这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”（即，有一种特殊形式的符号可以采取可数）。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别：给定的符号串IF A和A蕴涵B，那么B（并保留进一步使用仅B）。但符号都没有“解释”（例如，没有“真值表”或“真值”或“真理功能”）和假言推理机制上进行，由单独的语法。

构成

PM理论既有相似之处显著，以及类似的差异，当代形式理论。克林指出，“这种演绎的数学与逻辑提供了直观希尔伯特的公理被设计成相信，或者至少被接受为关于世界的假设合理的。” 事实上，PM理论不像理论，即操纵符号根据语法规则，PM引入了“真值”的概念，即在现实世界意义的真理和谬误，以及“断言真相”几乎立即作为理论结构的第五和第六元素（PM 1962：4-36）：

版本差异

卷I有五个新增：

附录A,编号为8.15新增谢费尔竖线

附录B,编号为* 89,讨论感应没有还原性的公理

附录C、8页讨论命题函数

8页的列表定义最后,给急需的索引使用的大约500个符号。

1962年杯发表缩短平装版包含部分的第二版的卷I:新介绍,正文* 56,和附录a和C。

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