符号史

最早的根号“√”源于字母“L”的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。从而，形成了我们现在所熟悉的开方运算符号{\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}。

由于在计算机中的输入问题，我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

带有根号的运算由如下公式给出:

这里的a和b是正数。

对于所有的非零复数a，有n个不同的复数b使得b = a，所以符号an{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}不能无歧义的使用。n次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

例如:

如果你要做加法或减法，则你应当注意下列概念是重要的。

如果你理解了如何去简化一个根式表达式，则加法和减法简单的是群的“同类项”问题。

例如

不尽根数

经常简单的留着数的n次方根不解（就是留着根号）。这些未解的表达式叫做“不尽根数”（surd），它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互除。

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

a2b=ab{\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}}

ambn=amnbn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}}

ab=ab{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}

(a+b)− − -->1=1(a+b)=a− − -->b(a+b)(a− − -->b)=a− − -->ba− − -->b{\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}

无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

找到所有的方根

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式ae (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

对于k=0,1,2,… … -->,n− − -->1{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}，这里的an{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}表示a的主n次方根。

正实数

所有x = a或a的n次方根，这里的a是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

对于k=0,1,2,… … -->,n− − -->1{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}，这里的an{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}表示a的主n次方根。

解多项式

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见根发现算法。

算法

对于正数A{\displaystyle A}，可以通过以下算法求得An{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}的值：

猜一个An{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}的近似值，将其作为初始值x0{\displaystyle x_{0}}

设 xk+1=1n[(n− − -->1)xk+Axkn− − -->1]{\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}。记误差为Δ Δ -->xk=1n[Axkn− − -->1− − -->xk]{\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]}，即xk+1=xk+Δ Δ -->xk{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}}。

重复步骤2，直至绝对误差足够小，即：|Δ Δ -->xk|{\displaystyle |\Delta x_{k}| 。

从牛顿法导出

求An{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}之值，亦即求方程xn− − -->A=0{\displaystyle x^{n}-A=0}的根。

设f(x)=xn− − -->A{\displaystyle f(x)=x^{n}-A}，其导函数即f′(x)=nxn− − -->1{\displaystyle f"(x)=nx^{n-1}}。

以牛顿法作迭代，便得

从牛顿二项式定理导出

设xk{\displaystyle x_{k}}为迭代值，y{\displaystyle y}为误差值。

令A=(xk− − -->y)n{\displaystyle A=(x_{k}-y)^{n}}（*），作牛顿二项式展开，取首两项：A≈ ≈ -->xkn− − -->nxkn− − -->1y{\displaystyle A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y}

调项得y≈ ≈ -->xkn− − -->Anxkn− − -->1=1n(xk− − -->Axkn− − -->1){\displaystyle y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)}

将以上结果代回（*），得递归公式xk+1=xk− − -->y=1n[(n− − -->1)xk+Axkn− − -->1]{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}

参见

增乘开平方法

幂

无理数

分母有理化

双重根号

2的12次方根

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