有界算子

假设 H 是一个希尔伯特空间，带有内积 ⟨ ⟨ --> ⋅ ⋅ --> , ⋅ ⋅ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 。考虑连续线性算子 A : H → H （这与有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我们可以证明存在惟一的连续线性算子

A* : H → H 具有如下性质：

这个算子 A * 是 A 的伴随。

这可以视为一个方块矩阵的转置共轭或伴随矩阵推广，在标准（复）内积下具有相似的性质。

性质

马上可得的性质

A ** = A

如 A 可逆，则 A * 也可逆，且 ( A *) = ( A )*

( A + B )* = A * + B *

(λ A )* = λ* A *，这里λ* 表示复数λ的复共轭

( AB )* = B * A *

如果我们定义 A 的算子范数为

则

而且有

希尔伯特空间 H 上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

A 的像与它的伴随的核的关系为

第一个等式的证明：

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。

埃尔米特算子

有界算子 A : H → H 称为埃尔米特或自伴如果

这等价于

在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

无界算子的伴随

许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。

其他伴随

范畴论中，方程

形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。

又见

数学概念

物理应用

参考文献

Walter Rudin. Functional Analysis (2nd ed.), China Machine Press, 2006

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