定义

集合R和定义于其上的二元运算 + 和·，(R, +, ·)构成一个 环 ，若它们满足：

(R, +)形成一个交换群，其单位元称为 零元 ，记作‘0’。即：

(R, ·)形成一个幺半群，即：

乘法关于加法满足分配律：

其中，乘法运算符·常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

基本性质

考虑一个环R，根据环的定义，易知R有以下性质：

∀a∈R，a·0 = 0·a = 0；（这也是为什么0作为加法群的单位元，却被称为“零元”）"

证明:a·0 = a·(0 + 0) (环的结合律) = a·0 + a·0 => a·0 - a·0 = a·0 + a·0 - a·0 (环有加法逆元) => 0 = a·0 ； 0·a 同理

∀a，b∈R，(-a)·b = a·(-b) = -(a·b)；

证明: (-a)·b = (-a)·b + (a·b) - (a·b) = (-a + a)·b - (a·b) (环的结合律) = 0·b - (a·b) = -(a·b) ； a·(-b) 同理，故(-a)·b = -(a·b) = a·(-b)

环的相关概念

特殊的环

此定义等价于以下任何一条：

例：整数环，多项式环

除环不一定是交换环。反例：四元数环。

非交换的除环是体。

交换的除环是域。

例子

集环 ：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：

整数环是一个典型的交换且含单位环。

有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。

所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。

n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想

考虑环(R, +, )，依环的定义知(R, +)是阿贝尔群。集合I ⊆ R，考虑以下条件：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。

∀i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。

∀i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。

若I满足条件1，2则称I是R的 右理想 ； 若I满足条件1，3则称I是R的 左理想 ； 若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的 双边理想 ，简称 理想 。

示例

整数环的理想：整数环 Z 只有形如{nZ}的理想。

基本性质

在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。

在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。

对于环R的两个理想A，B，记 A B = { ∑ ∑ --> k = 0 n a k b k | a k ∈ ∈ --> A , b k ∈ ∈ --> B } {\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}} 。则由定义易知：

相关概念

半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

有关环的其它概念

零因子 (zero divisor)：

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