数学形式

所涉及的两个量子位元间，一是控制(量子)位元(control qubit)是|0>，另一是受控的目标位元(target qubit)保持原状态；当控制位元是|1>，则目标位元的|0>成分变为|1>，而|1>成分变为|0>。

写成通式，若c表示控制而t表示目标：

可以写成张量积的形式，或者拆开来。若经过CNOT的作用： C N O T → → --> a | 0 ⟩ ⟩ --> c ⊗ ⊗ --> α α --> | 0 ⟩ ⟩ --> t + a | 0 ⟩ ⟩ --> c ⊗ ⊗ --> β β --> | 1 ⟩ ⟩ --> t + b | 1 ⟩ ⟩ --> c ⊗ ⊗ --> α α --> | 1 ⟩ ⟩ --> + b | 1 ⟩ ⟩ --> c ⊗ ⊗ --> β β --> | 0 ⟩ ⟩ --> t {\displaystyle {CNOT}\rightarrow a|0\rangle _{c}\otimes \alpha |0\rangle _{t}+a|0\rangle _{c}\otimes \beta |1\rangle _{t}+b|1\rangle _{c}\otimes \alpha |1\rangle +b|1\rangle _{c}\otimes \beta |0\rangle _{t}}

就一般式子而言不能再写回c和t拆开为张量积的形式 | Ψ Ψ --> ⟩ ⟩ --> c ⊗ ⊗ --> | Φ Φ --> ⟩ ⟩ --> t {\displaystyle |\Psi \rangle _{c}\otimes |\Phi \rangle _{t}} ，这是量子缠结的来源表征。

若 | 0 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |0\rangle } 以 ( 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} 且 | 1 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |1\rangle } 以 ( 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} 表示，则可将CNOT写为：

操作例子： C N O T | 10 ⟩ ⟩ --> = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ) ( 0 0 1 0 ) = ( 0 0 0 1 ) = | 11 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle {CNOT}|10\rangle ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}=|11\rangle }

与古典逻辑门的对应

CNOT维持|00〉 、|01〉，而将|10〉变|11〉、|11〉变|10〉的特性，相似于古典的互斥或闸(exclusive OR, XOR)维持00、01，将10变11、11变10。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。