拓扑与几何

点集拓扑

拓扑上，一个嵌入是一个单射，使得拓扑空间到其像上为同胚。换言之，两个拓扑空间X, Y之间的一个连续单射f: X→Y是一个拓扑嵌入，如果f给出X与f(X)间的同胚（空间f(X)上的拓扑是由Y诱导的子空间拓扑。）凡是连续单射的开映射或闭映射都是拓扑嵌入，不过一个嵌入也可能既非开映射也非闭映射：当其像f(X)不是Y中的开集或闭集时，便发生这种情况。

微分拓扑

在微分拓扑中，令M, N为光滑流形，而f: M→N为光滑映射。则如果f的微分处处皆为单射，则称f为一个浸入。此时的嵌入定义为一个符合拓扑嵌入定义的单射浸入，又称为光滑嵌入。换言之，嵌入是微分同胚于其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一个局部嵌入，即在每点x∈ ∈ -->M{\displaystyle x\in M}，都有邻域U∋ ∋ -->x{\displaystyle U\ni x}，使得限制到这邻域上的f|U: : -->U→ → -->N{\displaystyle f|_{U}\colon U\to N}是嵌入。如果M是紧致流形，则M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一个重要情形是在N为Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}时。这情形引起兴趣之处，在于对任何m维流形M，n需多大才保证有从M到Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指n = 2m便足够，而且是最好的上界。例如嵌入一个m维的实射影平面便需要n = 2m。

如果将光滑嵌入的定义中，f为光滑映射的条件放宽为C映射，其中k是正整数，而其余条件不变，则f称为C嵌入。

黎曼几何

在黎曼几何中，设(M,g), (N,h)是黎曼流形，一个等距嵌入是一个光滑嵌入f: M→N，令黎曼度量保持不变，即将h由f拉回等于g，就是g=f∗ ∗ -->(h){\displaystyle g=f^{*}(h)}。更明确言之，对M中任何一点x，及任何两个切向量

都有

度量空间

设X, Y为度量空间，映射f: : -->X→ → -->Y{\displaystyle f\colon X\to Y}是一个拓扑嵌入。如果f和f− − -->1{\displaystyle f^{-1}}（定义在f(X)上）都是利普希茨连续，则称f为双利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。换言之，如果存在常数L≥ ≥ -->1{\displaystyle L\geq 1}，使得

则称f为(L-)双利普希茨嵌入。

一个更广义的嵌入是拟对称嵌入(quasisymmetric embedding)。如前设f为拓扑嵌入。f称为(η-)拟对称嵌入，如果存在同胚η η -->: : -->[0,∞ ∞ -->)→ → -->[0,∞ ∞ -->){\displaystyle \eta \colon [0,\infty )\to [0,\infty )}（连续函数)=0且η为严格递增的连续函数），使得X中任何三点x, a, b若满足

其中t > 0，则有

若f是一个L-双利普希茨嵌入，可令η η -->(t)=L2t{\displaystyle \eta (t)=L^{2}t}，则f是η-拟对称嵌入。

双利普希茨嵌入的一个相关概念是拟等距嵌入。拟等距嵌入虽名为嵌入，却不一定是嵌入，因其未必是单射。

代数

域论

域论上，从一个域E到另一个域F中的一个嵌入，是一个环同态σ: E → F。因为环同态的核是一个理想，而域的理想只有0及整个域本身，又σ(1)=1，故其核不能为整个域，即知核为0。因此这个环同态必定是单态射，而E和在F中的σ(E)同构。所以可称两个域之间的任何同态为嵌入。

序理论

关于序理论中的嵌入，可参见序嵌入。

参考

Sharpe, R.W., Differential Geometry: Cartan"s Generalization of Klein"s Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9 .

Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3 .

Heinonen, Juha, Lecture on Analysis on Metric Spaces, Springer-Verlag, New York, 2001, ISBN 0-387-95104-0 .

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