简介理想化的地球是一个流形。越近看就越近似于平面（“大三角形”是曲边的，但右下角非常小的三角形就和平面上一样了）。流形可以视为近看起来象欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体。例如，人们曾经以为地球是平的。这是因为相对于地球来说人类实在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。所以，尽管知道地球实际上差不多是一个圆球，如果只需要考虑其中微小的一部分上发生的事情，比如测量操场跑道的长度或进行房地产交易时，仍然把地面看成一个平面。一个理想的数学上的球面在足够小的区域上的特性就像一个平面，这表明它是一个流形。但是球面和平面的整体结构是完全不同的：如果在球面上沿一个固定方向走，最终会回到起点，而在一个平面上，可以一直走下去。回到地球的例子。像旅行的时候，会用平面的地图来指示方位。如果将整个地球的各个地区的地图合订成一本地图集，那么在观看各个地区的地图后，就可以在脑海中“拼接”出整个地球的景貌。为

形式化定义下面假设所有流形为C类微分流形，r≥1，并且所有映射为C类可微。浸入子流形浸入子流形，开区间的区间终点映射为箭头。流形M的浸入子流形是流形N，带有给定浸入f:N→M（f:N→f(N)是一个光滑映射，且其雅可比矩阵处处满秩）。因此，N在M中的像和N存在局域同胚。如果进一步要求N的度量和从M拉回的度量相同，则称等度浸入子流形。嵌入子流形嵌入子流形（也称正则子流形）是浸入子流形，其浸入映射为同胚。子流形拓扑和它的像（流形M的子集S）的子集拓扑相同。嵌入子流形也可以内蕴定义：令M为n-维流形，令k为整数，满足0≤k≤n。k-维嵌入子流形是子空间S⊂M使得，对每个点p∈S，存在图(U⊂M,φ:U→R)包含p满足φ(S∩U)是一个k-维平面和φ(U)的交。二元组(S∩U,φ|S∩U)构成S上微分结构的图册。子流形在李群理论现频繁，因为很多李群可以视为非退缩矩阵乘法群的子流形兼子群。其他变种文...

线性辛流形有一个标准“局部”模型，也就是R，其中ωi,n+i=1;ωn+i,i=-1;ωj,k=0对于所有i=0,...,n-1;j,k=0,...,2n-1(k≠j+nandj≠k+n)。这是一个线性辛空间的例子。参看辛向量空间。一个称为达布定理的命题表明局部来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。体积形式从定义可以直接得到每个辛流形M都是偶数维2n;这是因为ω是无处为0的形式，辛体积形式。由此可以得到，每个辛流形是有一个标准的定向的，并且有一个标准的测度，刘维尔测度（经常重整为ω/n!）。切触流形和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形，称为切触流形。每个2n+1-维切触流形(M,α)给出一个2n+2-维辛流形(M×R,d(eα)).拉格朗日子流形辛流形的子流形有两个自然的几何概念，它们是辛子流形（可以是任何偶数维）和拉格朗日子流形（一半维度），其中辛流形要导出该子流形上的一个辛形式，而辛流...

参考Hempel,John,3-manifolds,Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,2004,ISBN0-8218-3695-1Jaco,WilliamH.,Lecturesonthree-manifoldtopology,Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,1980,ISBN0-8218-1693-4Rolfsen,Dale,KnotsandLinks,Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,1976,ISBN0-914098-16-0Thurston,WilliamP.,Three-dimensionalgeometryandtopology,Princeton,NJ:PrincetonUniversityPress,1997,ISBN0-69...

定义M上一个泊松结构（Poissonstructure）是一个双线性映射使得这个括号反对称：服从雅可比恒等式：是C(M)关于第一个变量的导子：上一个性质有多种等价的表述。取定一个光滑函数g∈C(M)，我们有映射f↦↦-->{g,f}{\displaystylef\mapsto\{g,f\}}是C(M)上一个导子。这意味着存在哈密顿哈密顿向量场Xg使得对所有f∈C(M)。这说明这个括号只取决于f的微分。从而，任何泊松结构有一个相伴的从M的余切丛TM到切丛TM的映射将df映为Xf。泊松双向量余切丛与切丛之间的映射意味着M上存在一个双向量场η，泊松双向量（Poissonbivector），一个反对称2张量ηη-->∈∈-->⋀⋀-->2TM{\displaystyle\eta\in\bigwedge^{2}TM}，使得这里⟨⟨-->,⟩⟩-->{\displaystyle\langle,\ran...