标准基底

闵可夫斯基空间的一组常用标准基底是四个互相正交的矢量的集合( e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ) 使得

这些条件可以更简要地写成如下形式：

其中μ与ν涵盖的数值有{0, 1, 2, 3}，矩阵η称为 闵可夫斯基度规 ，数值为

相对于一组标准基底，一矢量 V {\displaystyle V} 的分量可以写作 ( V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ) {\displaystyle (V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})} ，并且我们使用爱因斯坦标记来写 V = V μ μ --> e μ μ --> {\displaystyle V=V^{\mu }e_{\mu }\,} 。分量 V 0 {\displaystyle V^{0}} 称作 V {\displaystyle V} 的“ 类时分量 ”( timelike component )，而其他三个分量则称作“ 类空分量 ”( spatial components )。

以分量来写，两个矢量 V {\displaystyle V} 与 W {\displaystyle W} 间的内积可写成

而一矢量 V {\displaystyle V} 的范数(norm)平方值为

因果结构

四维矢量依据它们（闵可夫斯基）内积的正负号来区分。四维矢量 U {\displaystyle U} 、 V {\displaystyle V} 与 W {\displaystyle W} 可分类如下：

V {\displaystyle V} 是 类时 ( timelike )，当且仅当 η η --> μ μ --> ν ν --> V μ μ --> V ν ν --> = V μ μ --> V μ μ --> < 0 {\displaystyle \eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\,=V^{\mu }V_{\mu }<0}

U {\displaystyle U} 是 类空 ( spacelike )，当且仅当 η η --> μ μ --> ν ν --> U μ μ --> U ν ν --> = U μ μ --> U μ μ --> > 0 {\displaystyle \eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\,=U^{\mu }U_{\mu }>0}

W {\displaystyle W} 是 零 ( null )或称 类光 ( lightlike )，当且仅当 η η --> μ μ --> ν ν --> W μ μ --> W ν ν --> = W μ μ --> W μ μ --> = 0 {\displaystyle \eta _{\mu \nu }W^{\mu }W^{\nu }\,=W^{\mu }W_{\mu }=0}

这样的术语源自于相对论中对于闵可夫斯基空间的使用。闵可夫斯基空间中一事件所有零矢量的集合构成了该事件的光锥(light cone)。注意到这些标记的使用与参考系无关。

矢量场被称作是类时、类空或零，是看场定义所在的各点，其所对应的矢量是类时、类空或零。

关于零矢量一个有用的结果：“若两个零矢量 A {\displaystyle A\,} 、 B {\displaystyle B\,} 正交（即：零内积值 A ⋅ ⋅ --> B = A μ μ --> B μ μ --> = 0 {\displaystyle A\cdot B=A^{\mu }B_{\mu }=0} ），则它们必定是呈比例关系 A = k B {\displaystyle A=kB\,} （ k {\displaystyle k\,} 为常数）。”

一旦时间方向选定了，类时矢量与零矢量可以再分为各种类别。以类时矢量(timelike vector)来说，我们有

未来方向 ( future directed ) 类时矢量 ，其第一个分量为正。

过去方向 ( past directed ) 类时矢量 ，其第一个分量为负。

以零矢量(null vector)来说，可分为三种类别：

纯零矢量 ( zero vector ) ，其在任何基底下，所有分量皆为 (0,0,0,0) 。

未来方向零矢量 ，其第一个分量为正，而其余分量为0。

过去方向零矢量 ，其第一个分量为负，而其余分量为0。

加上类空矢量，全部共有六种类别。

闵可夫斯基空间中的正交归一基底(orthonormal basis)必然包含一个类时与三个类空的单位矢量。若希望以非正交归一基底来做运算，则可有其他的矢量组合。例如：可以轻松建构一种（非正交归一）基底，整个是由零矢量所组成，称之为“ 零基底 ”( null basis )。

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参考文献

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Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations , § 6.6 "Minkowski space", § 6.7,8 "Canonical forms", pp 221–42, Academic Press ISBN 978-0-12-639201-2 .

Walter, Scott.Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity. (编) Goenner, Hubert et al. (ed.). The Expanding Worlds of General Relativity. Boston: Birkhäuser. 1999: 45–86. ISBN 0-8176-4060-6.

外部链接

维基共享资源中有关闵可夫斯基空间的多媒体资源

YouTube上的Animation clipvisualizing Minkowski space in the context of special relativity.

The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone

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