性质

莱布尼兹法则本身有一系列直接推论。首先，如果 x1, x2, … ,xn ∈ A，那么由数学归纳法得出

特别地，如果 A 可交换且 x1=x2=…=xn，那么此公式简化成熟悉的幂法则 D(x) = nxD(x)。如果 A 是有单位的，则 D(1) = 0 因为 D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1)。从而，因 D 是 k-线性的，推出对所有 x∈k 有 D(x)=0。

如果 k ⊂ K 是一个子环，A 是一个 K-代数，则有包含关系

因为任何 K-导子当然是一个 k-导子。

从 A 到 M 的 k-导子的集合，Derk(A,M) 是 k-上的一个模。而且，k-模 Derk(A) 组成了一个李代数其李括号定义为交换子：

容易验证两个导子的李括号仍然是一个导子。

分次导子

如果我们有一个分次代数 A，D 是 A 上一个阶数 d = |D| 的齐次线性映射，则 D 是一个齐次导子如果

D(ab)=D(a)b+ϵ ϵ -->|a||D|aD(b),ϵ ϵ -->=± ± -->1{\displaystyle \scriptstyle {D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)},\epsilon =\pm 1} 作用在 A 的齐次元素上。一个分次导子是具有相同 ε 的一些齐次导子的和。

如果交换因子 ε = 1，定义变为通常情形；如果 ε = -1，那么对奇数|D| 有D(ab)=D(a)b+(− − -->1)|a|aD(b){\displaystyle \scriptstyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}}，它们称为反导子。

反导子的例子包含作用在微分形式上的外导数与内乘。

超代数（即：Z2-分次代数）的分次导子经常称为超导子。

另见

在初等微分几何中导子是切向量；

凯勒微分

参考文献

Bourbaki, Nicolas, Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-540-64243-9 .

Eisenbud, David, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry 3rd., Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0387942698 .

Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, 1970, ISBN 978-0805370256 .

Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W.,Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993 .

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