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上下文无关文法

2020-10-16
出处:族谱网
作者:阿族小谱
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形式定义上下文无关文法G是4-元组:G=(V,ΣΣ-->,R,S){displaystyleG=(V,,Sigma,,R,,S,)}这里的1.V{displaystyleV,}是

形式定义

上下文无关文法 G 是 4-元组:

G = ( V , Σ Σ --> , R , S ) {\displaystyle G=(V\,,\Sigma \,,R\,,S\,)} 这里的

1. V {\displaystyle V\,} 是“非终结”符号或变量的有限集合。它们表示在句子中不同类型的短语或子句。

2. Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma \,} 是“终结符”的有限集合,无交集于 V {\displaystyle V\,} ,它们构成了句子的实际内容。

3. S {\displaystyle S\,} 是开始变量,用来表示整个句子(或程序)。它必须是 V {\displaystyle V\,} 的元素。

4. R {\displaystyle R\,} 是从 V {\displaystyle V\,} 到 ( V ∪ ∪ --> Σ Σ --> ) ∗ ∗ --> {\displaystyle (V\cup \Sigma )^{*}} 的关系,使得 ∃ ∃ --> w ∈ ∈ --> ( V ∪ ∪ --> Σ Σ --> ) ∗ ∗ --> : ( S , w ) ∈ ∈ --> R {\displaystyle \exists \,w\in (V\cup \Sigma )^{*}:(S,w)\in R} 。

此外, R {\displaystyle R\,} 是有限集合。 R {\displaystyle R\,} 的成员叫做文法的“规则”或“产生式”。星号表示Kleene星号运算。

补充定义 1

对于任何字符串 u , v ∈ ∈ --> ( V ∪ ∪ --> Σ Σ --> ) ∗ ∗ --> {\displaystyle u,v\in (V\cup \Sigma )^{*}} ,我们称 u {\displaystyle u\,} 生成 v {\displaystyle v\,} ,写为 u ⇒ ⇒ --> v {\displaystyle u\Rightarrow v\,} ,如果 ∃ ∃ --> ( α α --> , β β --> ) ∈ ∈ --> R , u 1 , u 2 ∈ ∈ --> ( V ∪ ∪ --> Σ Σ --> ) ∗ ∗ --> {\displaystyle \exists (\alpha ,\beta )\in R,u_{1},u_{2}\in (V\cup \Sigma )^{*}} 使得 u = u 1 α α --> u 2 {\displaystyle u\,=u_{1}\alpha u_{2}} 且 v = u 1 β β --> u 2 {\displaystyle v\,=u_{1}\beta u_{2}} 。因此 v {\displaystyle v} 是应用规则 ( α α --> , β β --> ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} 于 u {\displaystyle u} 的结果。

补充定义 2

对于任何 u , v ∈ ∈ --> ( V ∪ ∪ --> Σ Σ --> ) ∗ ∗ --> , u ⇒ ⇒ --> ∗ ∗ --> v {\displaystyle u,v\in (V\cup \Sigma )^{*},u{\stackrel {*}{\Rightarrow }}v} (或 u ⇒ ⇒ -->⇒ ⇒ --> v {\displaystyle u\Rightarrow \Rightarrow v\,} 在某些教科书中),如果 ∃ ∃ --> u 1 , u 2 , ⋯ ⋯ --> u k ∈ ∈ --> ( V ∪ ∪ --> Σ Σ --> ) ∗ ∗ --> , k ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle \exists u_{1},u_{2},\cdots u_{k}\in (V\cup \Sigma )^{*},k\geq 0} 使得 u ⇒ ⇒ --> u 1 ⇒ ⇒ --> u 2 ⋯ ⋯ --> ⇒ ⇒ --> u k ⇒ ⇒ --> v {\displaystyle u\Rightarrow u_{1}\Rightarrow u_{2}\cdots \Rightarrow u_{k}\Rightarrow v} 。

补充定义 3

文法 G = ( V , Σ Σ --> , R , S ) {\displaystyle G=(V\,,\Sigma \,,R\,,S\,)} 的语言是集合

补充定义 4

语言 L {\displaystyle L\,} 被称为是上下文无关语言(CFL),如果存在一个 CFG G {\displaystyle G\,} 使得 L = L ( G ) {\displaystyle L\,=\,L(G)} 。

例子

例子 1

一个简单的上下文无关文法的例子是:S -> aSb | ab 。这个文法产生了语言 {a b : n ≥ 1} 。不难证明这个语言不是正则的。

例子 2

这个例子可以产生变量 x,y,z 的算术表达式:

例如字串 "( x + y ) * x - z * y / ( x + x )" 就可以用这个文法来产生。

例子 3

字母表 {a,b} 上 a 和 b 数目不相等的所有字串可以由下述文法产生:

这里 T 可以产生 a 和 b 数目相等的所有字串,U 可以产生 a 的数目多于 b 的数目的所有字串, V 可以产生 a 的数目少于 b 的数目的所有字串。

推导与语法树

范式

每一个不生成空串的上下文无关文法都可以转化为等价的 Chomsky 范式或 Greibach 范式。这里两个文法等价的含义指它们生成相同的语言。

由于 Chomsky 范式在形式上非常简单,所以它在理论和实践上都有应用。比如,对每一个上下文无关语言,我们可以利用 Chomsky 范式构造一个多项式算法,用它来判断一个给定字串是否属于这个语言(CYK算法)。

参见

上下文有关文法

形式文法

分析

分析表达式文法

随机上下文无关文法

引用

Chomsky, Noam (Sept. 1956). "Three models for the description of language". Information Theory, IEEE Transactions 2 (3).

进一步阅读

Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997. ISBN 978-0-534-94728-6. Section 2.1: Context-Free Grammars, pp.91–101. Section 4.1.2: Decidable problems concerning context-free languages, pp.156–159. Section 5.1.1: Reductions via computation histories: pp.176–183.


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· 线性无关
定义假设V是在域K上的向量空间。如果v1,v2,...,vn是V的向量,称它们为线性相关,如果从域K中有非全零的元素a1,a2,...,an,适合或更简略地表示成,(注意右边的零是V的零向量,不是K的零元。)如果K中不存在这样的元素,那么v1,v2,...,vn是线性无关。对线性无关可以给出更直接的定义。向量v1,v2,...,vn线性无关,当且仅当它们满足以下条件:如果a1,a2,...,an是K的元素,适合:那么对所有i=1,2,...,n都有ai=0。在V中的一个无限集,如果它任何一个有限子集都是线性无关,那么原来的无限集也是线性无关。线性相关性是线性代数的重要概念,因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间,而这组向量则是这向量空间的基。相关性含有零向量的向量组,必定线性相关。含有两个相等向量的向量组,必定线性相关。若一向量组相关,则加上任意个向量后,仍然线性相关;即局部线性相关,...

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