公式

有公因数时：s(ch,ck)=s(h,k){\displaystyle s(ch,ck)=s(h,k)}

Petersson-Knopp恒等式：∑ ∑ -->d|n∑ ∑ -->m=0d− − -->(ndh+mk,kd)=σ σ -->(n)s(h,k){\displaystyle \sum _{d|n}\sum _{m=0}^{d-1}s\left({\frac {n}{d}}h+mk,kd\right)=\sigma (n)s(h,k)}，σ σ -->(n){\displaystyle \sigma (n)}为因数函数，是n{\displaystyle n}的正因数之和。其中一个较易证明的特例为当p{\displaystyle p}为质数，(p+1)s(h,k)=s(ph,k)+∑ ∑ -->m=0p− − -->(h+mk,pk){\displaystyle (p+1)s(h,k)=s(ph,k)+\sum _{m=0}^{p-1}s(h+mk,pk)}

周期性：s(nk+h,k)=s(h,k){\displaystyle s(nk+h,k)=s(h,k)}

若pq≡ ≡ -->1(modk){\displaystyle pq\equiv 1{\pmod {k}}}，s(p,k)=s(q,k){\displaystyle s(p,k)=s(q,k)}。

s(1,k)=(k− − -->1)(k− − -->2)12k{\displaystyle s(1,k)={\frac {(k-1)(k-2)}{12k}}}

若k{\displaystyle k}为奇数，s(2,k)=(k− − -->1)(k− − -->5)24k{\displaystyle s(2,k)={\frac {(k-1)(k-5)}{24k}}}

对于k≡ ≡ -->1(modh){\displaystyle k\equiv 1{\pmod {h}}}，12hks(h,k)=(k− − -->1)(k− − -->(h2+1)){\displaystyle 12hks(h,k)=(k-1)(k-(h^{2}+1))}

对于k≡ ≡ -->2(modh){\displaystyle k\equiv 2{\pmod {h}}}，12hks(h,k)=(k− − -->2)(k− − -->(h2+1)/2){\displaystyle 12hks(h,k)=(k-2)(k-(h^{2}+1)/2)}

对于k≡ ≡ -->− − -->1(modh){\displaystyle k\equiv -1{\pmod {h}}}，12hks(h,k)=k2+(h2− − -->6h+2)k+(h2+1){\displaystyle 12hks(h,k)=k^{2}+(h^{2}-6h+2)k+(h^{2}+1)}

互反和：

参考

vanced/06-11-4-11-18_dedekind%20sums.pdf

th/0112077

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。