例子

若权函数为1，区间为(-1,1)，f0(x)=1{\displaystyle f_{0}(x)=1}，对应的正交多项式有：

它们称为勒让德多项式。

对于任意向量空间的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基，正交化的结果便是勒让德多项式。

常见的正交多项式

切比雪夫多项式

雅可比多项式

埃尔米特多项式

拉盖尔多项式

盖根鲍尔多项式

哈恩多项式

拉卡多项式

查理耶多项式

连续双哈恩多项式

贝特曼多项式

双重哈恩多项式

小q-雅可比多项式

本德尔·邓恩多项式

威尔逊多项式

Q哈恩多项式

大q-雅可比多项式

Q-拉盖尔多项式

Q拉卡多项式

梅西纳多项式

克拉夫楚克多项式

梅西纳-珀拉泽克多项式

连续哈恩多项式

连续q-哈恩多项式

Q梅西纳多项式

阿斯克以-威尔逊多项式

Q克拉夫楚克多项式

大q-拉盖尔多项式

双Q克拉夫楚克多项式

Q查理耶多项式

泽尔尼克多项式

罗杰斯-斯泽格多项式

戈特利布多项式

性质

递归方程

fn+1=(an+xbn)fn− − -->cnfn− − -->1{\displaystyle f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}}

其中 bn=kn+1kn,an=bn(kn+1′kn+1− − -->kn′kn),cn=bn(kn− − -->1hnknhn− − -->1),hn=⟨ ⟨ -->fn,fn⟩ ⟩ -->{\displaystyle b_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad a_{n}=b_{n}({\frac {k_{n+1}"}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}"}{k_{n}}}),\qquad c_{n}=b_{n}({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),\qquad h_{n}=\langle f_{n},f_{n}\rangle }

实根：所有正交多项式系中的正交多项式都有n{\displaystyle n}个实根，这些根是相异且在正交区间之内。

奇偶性：若W(x){\displaystyle W(x)}为偶函数，且正交区间为(− − -->a,a){\displaystyle (-a,a)}，则有fn(− − -->x)=(− − -->1)nfn(x){\displaystyle f_{n}(-x)=(-1)^{n}f_{n}(x)}。

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