表现形式

大数定律主要有两种表现形式：弱大数定律和强大数定律。定律的两种形式都肯定无疑地表明，样本均值

收敛于真值

其中 X1, X2, ... 是独立同分布的，期望值 E(X1) = E(X2) = ...= µ 的，勒贝格可积的随机变量构成的无穷序列。Xj 的勒贝格可积性意味着期望值 E(Xj) 存在且有限。

方差Var(X1) = Var(X2) = ... = σ < ∞ 有限的假设是非必要的。很大或者无穷大的方差会使其收敛得缓慢一些，但大数定律仍然成立。通常采用这个假设来使证明更加简洁。

强和弱之间的差别在所断言的收敛的方式。对于这些方式的解释，参见随机变量的收敛。

弱大数定律

弱大数定律也称为辛钦定理，陈述为：样本均值依概率收敛于期望值。

也就是说对于任意正数 ε,

切比雪夫定理的特殊情况

设 a1,a2,...,an,...{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n},...} 为相互独立的随机变量，其数学期望为：E(ai)=μ μ -->{\displaystyle E(a_{i})=\mu }(i=1,2,...){\displaystyle (i=1,2,...)}，方差为：Var(ai)=σ σ -->2(i=1,2,...){\displaystyle Var(a_{i})=\sigma ^{2}(i=1,2,...)}

则序列a¯ ¯ -->=1n∑ ∑ -->i=1nai{\displaystyle {\overline {a}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}}依概率收敛于μ μ -->{\displaystyle \mu }（即收敛于此数列的数学期望E(ai){\displaystyle E(a_{i})}）。

换言之，在定理条件下，当n{\displaystyle n}无限变大时，n{\displaystyle n}个随机变量的算术平均将变成一个常数。

伯努利大数定律

设在n{\displaystyle n}次独立重复伯努利试验中， 事件X{\displaystyle X}发生的次数为nx{\displaystyle n_{x}}。 事件X{\displaystyle X}在每次试验中发生的母体概率为p{\displaystyle p}。nx/n{\displaystyle n_{x}/n}代表样本发生事件X{\displaystyle X}的频率。

大数定律可用概率极限值定义: 则对任意正数ε ε -->>0{\displaystyle \varepsilon >0}，下式成立：

定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件的母体概率。 定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。 就是说当n很大时，事件发生的频率于母体概率有较大偏差的可能性很小。

参见

概率论

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。