历史

摆线的研究最初开始于Nicholas of Cusa，之后梅森（Marin Mersenne）也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年G.P. de Roberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。 .

方程

过原点半径为r的摆线参数方程为

在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。 通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为

摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。

摆线也满足下面的微分方程。

面积

一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

微分，

于是可以求得

弧长

弧形的长度可以由下面的式子计算出：

其它相关联的曲线

一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线（curtate cycloid）和长摆线（prolate cycloid），两者合称为次摆线（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。trochoid则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）

应用

Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum

在建筑物的设计方面，摆线曾被Louis Kahn用来设计在他在Fort Worth, Texas的建筑，Kimbell Art Museum里。 它也曾被用作Hopkins Center in Hanover, New Hampshire.的设计。

参考

An application from physics : Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003)./abstract/PRL/v91/e215507

Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

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