定义

在环（ R ,+,·）上的一个 左 R -模 包括一个阿贝尔群（ M , +），以及一个算子 R × M -> M (叫做标量乘法或数积，通常记作 rx ， r ∈ R 及 x ∈ M )有

对所有 r , s ∈ R , x , y ∈ M ,

( rs ) x = r ( sx )

( r + s ) x = rx + sx

r ( x + y ) = rx + ry

1 x = x

一个左 R -模 M 不时记作 R M 。

有数学家摒除第4个条件于一般左模定义之外，并把以上的结构称为"带单位元的左模"。

一个 右 R -模 M 或 M R 定义相似，只是环的元素在右边，即是数积是 M × R -> M 而定义内 r 和 s 是在 x 和 y 的右边。若 R 是可交换的，则左 R -模与右 R -模是一样的，简称为 R -模。

若 R 是一个域则 R -模称为向量空间。模是向量空间的推广，有很多与向量间相同的性质，但通常没基底。

例子

所有可置换群 M 是一个在整数环 Z 的模，其数积是 nx = x + x + ... + x ( n 个相加)对于 n > 0, 0 x = 0,以及（- n ） x = -( nx )对于 n < 0。

若 R 是一个环而 n 是一个自然数，则 R 是一个 R -模。

若 M 是一个 光滑 流形，则由 M 至实数的光滑函数是一个环 R 。在 M 上的所有向量场组成一个 R -模。

所有 n × n 实数矩阵组成一个环 R 。欧几里得空间 R 是一个左 R -模，当中数积就是矩阵乘法。

若 R 是一个环而 I 是其中一个左理想，则 I 是一个左 R -模。

子模及同态

假设 M 是左 R -模兼 N 是 M 的子集。如果对于所有 n ∈ N 及 r ∈ R ，乘积 rn ∈ N （若是右模， nr ），则 N 是 R M 的 子模 （或更准确地， R -子集）。

若 M 和 N 是左 R -模，若映射 f : M -> N 有对所有 m, n ∈ M 及 r, s ∈ R ， f ( rm + sn ) = rf ( m ) + sf ( n )，则称映射 f 为 R -模同态 。像其他同态，模同态保存了模的结构。

其他定义及表达法

若 M 是左 R -模，则一个 R 中元素 r 之 作用 定义为映射 M → M ，它将每个 x 映至 rx （或者在右模的情况是 xr ），这必然是阿贝尔群 ( M ,+)的群自同态。全域 M 的自同态记作End Z （ M ），它在加法与合成下构成一环，而将 R 的元素 r 映至其作用则给出从 R 至End Z ( M )之同态。

如此的环同态 R → End Z ( M )称作 R 在阿贝尔群 M 上的一个 表示 。左 R -模的另一种等价定义是：一个阿贝尔群 M 配上一个 R 的表示。

一个表示称作 忠实 的，当且仅当 R → End Z ( M )是单射。以模论术语来说，这意谓若 r 是 R 的元素，且使得对所有 M 中的 x 都有 rx =0，则 r =0。任意阿贝尔群皆可表成整数环 Z 或其某一商环 Z/nZ 的忠实表示。

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