杨辉幻圆

杨辉《续古摘奇算法》有聚五图，聚六图，聚八图，攒九图，八阵图，连环图。

攒九图

杨辉《续古摘奇算法》中的 攒九图 以自然数1至33构成，9在圆心，其余排列在四个同心圆上，每圈8个数 。杨辉有如下攒九图奇妙特点；

四条直径上数字之和是147，

四个圆周上数字之和加圆心9之和也是147。

八条半径线上数字（不包括9）之和=69

四个圆周上数字之和（不包括9）=八条半径线上数字和的两倍。

杨辉书中未曾说明幻圆的构造方法。新加坡大学蓝丽蓉教授 建议将八组半径数字分为两组，构成两个四阶幻方，例如；

[ 28 5 11 25 27 15 3 24 6 32 29 2 8 17 26 18 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}28&5&11&25\\27&15&3&24\\6&32&29&2\\8&17&26&18\end{bmatrix}}}

[ 12 31 19 7 4 21 14 30 20 16 23 10 33 1 13 22 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}12&31&19&7\\4&21&14&30\\20&16&23&10\\33&1&13&22\end{bmatrix}}}

由于这两个四阶幻方纵数横数之和都是69，只需从第一幻方和第二幻方中随意各取一行，或随意各取一列，构成同一条直径上的两对半径，一共组成四条直径，每直径8个数，最后在圆心安方9，就不但可以排出杨辉幻圆；而且可以排除许许多多不同排列的幻园。此外，由于数字的和与数字的次序无关，因此；

任何两组半径数字，可以互换位置，

8组半径数字，在可以在圆圈上任意排列，

任何两组园圈，可以互换位置。

杨辉幻圆真是富于变化。如果限制四个圆周上必须有两个同和半圆(半圆上的四个数字之和必须=69)，杨辉幻圆上的半径位置就不可调换。如此一来，杨辉幻圆可以有

8条同和半径；28+5+11+25=69，20+16+23+10=69，……

8条同和半圆； 27+28+8+6=69，20+33+12+4=69,15+5+17+32=69，21+32+1+16=69……

具有16个同和线段（和数为69）的幻圆不止一个，可依靠四个圆圈的不同排列得到，共有4x3x2=24种。

杨辉八阵图

杨辉八阵图

1至64， 64数字分为八个圆圈，每个圆圈内数目之和=260。 从西北角顺时针方向各小圆之和为：

40 + 24 + 9 + 56 + 41 + 25 + 8 + 57 = 260 {\displaystyle 40+24+9+56+41+25+8+57=260} 14 + 51 + 46 + 30 + 3 + 62 + 35 + 19 = 260 {\displaystyle 14+51+46+30+3+62+35+19=260}

45 + 29 + 4 + 61 + 36 + 20 + 13 + 52 = 260 {\displaystyle 45+29+4+61+36+20+13+52=260} 37 + 21 + 12 + 53 + 44 + 28 + 5 + 60 = 260 {\displaystyle 37+21+12+53+44+28+5+60=260}

47 + 31 + 2 + 63 + 34 + 18 + 15 + 50 = 260 {\displaystyle 47+31+2+63+34+18+15+50=260}

7 + 58 + 39 + 23 + 10 + 55 + 42 + 26 = 260 {\displaystyle 7+58+39+23+10+55+42+26=260}

38 + 22 + 11 + 54 + 43 + 27 + 6 + 59 = 260 {\displaystyle 38+22+11+54+43+27+6+59=260}

48 + 32 + 1 + 64 + 33 + 17 + 16 + 49 = 260 {\displaystyle 48+32+1+64+33+17+16+49=260}

14 + 51 + 62 + 3 + 7 + 58 + 55 + 10 = 260 {\displaystyle 14+51+62+3+7+58+55+10=260}

49 + 16 + 1 + 64 + 60 + 5 + 12 + 53 = 260 {\displaystyle 49+16+1+64+60+5+12+53=260}

此外两条对角线的16个数字之和为260的两倍： 40 + 57 + 41 + 56 + 50 + 47 + 34 + 63 + 29 + 4 + 13 + 20 + 22 + 11 + 6 + 27 = 2 ∗ ∗ --> 260 = 520 {\displaystyle 40+57+41+56+50+47+34+63+29+4+13+20+22+11+6+27=2*260=520}

杨辉连环图

杨辉连环图

1至72，共72个数字分为9个圆圈，排列成方阵如图。

此连环图奇妙之处在于连环生圈：由于左右相邻的四个圈的数字连环，又多出4个 8字圆圈

连环圈由有以下相邻的8字圈连环组成:

一共13个八字圈： ：西北，北，东北，东，东南，南，西南，西，中，（东北，北，东，中），（西北，北，西，中），（东南，南，东，中），（西南，南，西，中）

13个八字圈中任何一个八字圈的数字之和=292

横向三个八字圈24个数字之和=876

纵向三个八字圈24个数字之和=876

对角线上三个八字圈24个数字之和=876

丁易东幻圆

南宋丁易东太衍五十图

南宋数学家丁易东是杨辉同时代人，以自然数1至49作出六同心圆幻圆，称之为太衍五十图 。

丁易东幻圆特性；

各圆周数字之和为200

每圆周上的一个数与其相对点上数字之和=50；

四条直径上数字之和为325

丁易东幻圆的构造

丁易东给出把三阶幻方洛书变化为六阶幻园 太衍五十图 的的奇妙方法；

将从1至49的数字分成以下9组

凡个位数为1数按大小次序排为一组：1，11，21，31，41

凡个位数为2数按大小次序排为一组：2，12，22，32，42

凡个位数为3数按大小次序排为一组：3，13，23，33，43

凡个位数为4数按大小次序排为一组：4，14，24，34，44

凡个位数为6数按大小次序排为一组：6，16，26，36，46

凡个位数为7数按大小次序排为一组：7，17，27，37，47

凡个位数为8数按大小次序排为一组：8，18，28，38，48

凡个位数为9数按大小次序排为一组：9，19，29，39，49

5及其倍数按大小次序排为一组：5，10，15，20，25，30，35，40，45

按洛书口诀：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”排列数字组：

戴九：将“9字组”9，19，29，39，49 排在最顶部，49在上，循序循半径往下排列，

履一，将“1字组”1，11，21，31，41作履，1排在最下，循序循半径往上排列，

左三：将“3字组"3，13，23，33，43排在左边，

右七，将“3字组"：7，17，27，37，47排在右边，

二四为肩，将“2字组”2，12，22，32，42，“4字组”4，14，24，34，44按络书方位排列在左上右上。

六八为足：将“6字组”6，16，26，36，46，“8字组”8，18，28，38，48按络书方位排列在左下右下。

最后“5”字组5，10，15，20，25，30，35，40，45各数对应其1/5的数字组排列在最内一个圆上：

程大位幻圆

聚五图，聚六图，聚八图，攒九图，八阵图 。

参考文献

《杨辉算法》 孙宏安 译注 辽宁教育出版社 1997

《杨辉算法导读》 郭熙汉 湖北教育出版社 1996

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