相关命题和定理

梅森数和梅森素数的性质

Mn=∑ ∑ -->i=0n(ni)− − -->1{\displaystyle M_{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}-1}。

q ≡ 3 mod 4为素数。则 2q+1是素数 的充分必要条件是 2q+1整除Mq 。

拉马努金-南哥尔方程（Ramanujan–Nagell Equation）：Mq = 6+x。当q为3、5和7时，Mq为梅森素数，方程有整数解；q为合数4和15时，方程亦有整数解；q为其它自然数时，方程没有整数解。

如果p是奇素数，那么任何能整除2 − 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。例如，2 − 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。

如果p是奇素数，那么任何能整除2p− − -->1{\displaystyle 2^{p}-1}的素数q都一定与± ± -->1(mod8){\displaystyle \pm 1{\pmod {8}}}同余。

梅森数和梅森素数的关系

下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。

由2ab− − -->1=(2a− − -->1)× × -->∑ ∑ -->i=0b− − -->12ia{\displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)\times \sum _{i=0}^{b-1}2^{ia}}知：q是素数是Mq是素数的必要条件。但这不是充分的。M11 = 2 反例1 = 23 × 89是个反例。

对Mq（q是素数）有：

梅森数的素数检验

卢卡斯-莱默检验法是现在已知的检测梅森数素数的最好的方法。

与完全数的关系

梅森素数与偶完全数有一一对应的关系。这个结果称为欧几里得－欧拉定理。

相关问题和猜想

是否有无穷多个梅森素数。

梅森素数如何分布。

寻找梅森素数

头四个梅森素数M2、M3、M5、M7在古代就已经知道。

第五个梅森素数M13在1461年之前被发现；

随后的两个（M17和M19）在1588年由Cataldi发现。

17世纪法国数学家马兰·梅森列出了他认为的幂小于257的梅森素数，其中错误地包括了不是素数的M67和M257，遗漏了M61、M89和M107。这也是“梅森素数”这个名字的由来。

一个多世纪后的1750年，才由欧拉证实M31是第8个梅森素数。

下一个被发现的梅森素数是由卢卡斯在1876年证明的M127；

1883年，Pervushin证实M61。

M89和M107是在20世纪早期由Powers分别在1911年和1914年发现的。

电子计算机的发明革命化的改进了梅森素数的寻找。第一个成功的例子是M521的证明，它是在莱默指导下，使用拉斐尔·米切尔·罗宾逊（英语：Raphael M. Robinson）教授编写的软件，利用坐落在洛杉矶加利福尼亚大学的数据分析协会的，属于美国国家标准局的西部自动计算机（SWAC）于1952年1月30日晚上10:00获得。并且在随后不到两小时，下一个梅森素数M607被发现。在随后的几个月里，使用同样的程序发现了另外三个梅森素数M1279、M2203和M2281。

到2016年1月，我们知道了49个梅森素数；现在已知最大的素数是梅森素数M74,207,281。像前几个一样，都是由因特网梅森素数大搜索（GIMPS）分布式计算项目发现的。

2010年7月11日GIMPS项目确认M20,996,011是第40个梅森素数。

2011年12月1日GIMPS项目确认M24,036,583是第41个梅森素数。

2012年12月20日GIMPS项目确认M25,964,951是第42个梅森素数。

2013年1月25日GIMPS项目发现M57,885,161

2014年2月23日GIMPS项目确认M30,402,457是第43个梅森素数。

2014年11月8日GIMPS项目确认M32,582,657是第44个梅森素数。

2016年1月7日GIMPS项目发现M74,207,281

梅森素数列表

      梅森遗漏的梅森素数      GIMPS发现的梅森素数

下面表中列出了所有已知的梅森素数：A000668

注：现在还不知道在第45个梅森素数（M37156667）和第49个（M74207281）之间是否还存在未知梅森素数，所以在其序号之前用标出。

^2009年4月12日首次有机器发现M42,643,801，但直到6月4日才有人注意到。因此，两者皆可视为发现日期。

^2015年9月17日首次有机器发现M74,207,281，但直到2016年1月7日才有人注意到。因此，两者皆可视为发现日期。GIMPS以后者为正式日期。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。