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abc猜想

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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内容对正整数n，rad⁡⁡-->(n){displaystyleoperatorname{rad}(n)}表示n{displaystylen}的质因数的积，称为n的根基（radical）。

内容

对正整数n，rad⁡ ⁡ -->(n){\displaystyle \operatorname {rad} (n)}表示n{\displaystyle n}的质因数的积，称为n的根基（radical）。例如

若正整数a, b, c = a + b互质，“通常”会有c < rad(abc)，例如：

但是也有反例，例如：

如上有多于一个整数可被小的质数的高次幂整除，使rad(abc) < c，是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。

abc猜想（一）

abc猜想也有以下等价的表述方式：

abc猜想（二）

abc猜想第三个表述方式，用到了三元组(a, b, c)的品质（quality），定义为：

例如：

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互质正整数的三元组，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大于1的情况较少出现。

abc猜想（三）

abc猜想中的ε不能去掉，不然命题就不成立。考虑以下例子：

这三个正整数互质，且有an+bn=cn{\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}}。注意到an{\displaystyle a_{n}}可被2n+2{\displaystyle 2^{n+2}}整除，因此有

因此

当n趋向无限大时，2n+13{\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}}也趋向无限大。因此不存在常数C，使得 c < C rad(abc)对所有适合条件的三元组都成立。

可得出的结果

如果abc猜想得证，那么有很多结果可以推导出来。其中一些结果，在abc猜想提出后，已经以其他方法得到证明，一些则仍然为猜想。

Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）

费马大定理对所有足够大指数的情形（安德鲁·怀尔斯已证一般情形）（Granville 2002）

Mordell猜想（英语：Mordell conjecture）（格尔德·法尔廷斯已证一般情形）（Elkies 1991）

Erdős–Woods猜想（英语：Erdős–Woods conjecture），除了有限多的反例。（Langevin 1993）

存在无限多非维费里希素数（Silverman 1988）

Marshall Hall猜想（英语：Marshall Hall"s conjecture）的弱形式（Nitaj 1996）

Fermat–Catalan猜想（英语：Fermat–Catalan conjecture）（Pomerance 2008）

用勒让德符号构成的L函数L(s,(−d/.))没有Siegel零点（英语：Siegel zero）（需要abc猜想在代数数域上的一致形式，不只在有理整数上。）（Granville 2000）

对有至少3个简单零点的多项式P(x)，在整数x取的所有值中，只有有限个次方数。

Tijdeman定理（英语：Tijdeman"s theorem）的推广形式，关于y = x + k的解的个数（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，关于Ay = Bx + k的解的个数。

等价于Granville–Langevin 猜想

等价于修改后的Szpiro猜想（英语：Szpiro"s conjecture）（Oesterlé 1988）

Brocard问题（英语：Brocard"s problem）n! + A= k，对任何给定的整数A，都只有有限个解。（Dąbrowski 1996）

理论结果

abc猜想导出c有abc的根基的接近线性函数的上界；不过，现在已知的是指数上界。确切结果如下：

上述的上界中，K1是不依赖a, b, c的常数，而K2和K3是（以可有效计算的方式）依赖于ε的常数，但不依赖于a, b, c。上述的上界对c > 2的三元组都成立。

计算结果

2006年，荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作，开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统，目的在找出更多的正整数三元组a, b, c使得rad(abc) < c。虽然有限个例子或反例不能解决abc猜想，但是期望借着这个计划发现的三元组的模式，可以得出对这个猜想数论于数论的新的洞见。

下述的q是上节定义的品质。

截至2014年4月 (2014-04)，ABC@Home找出23.8百万个三元组，现今目标在找出c不大于2的所有三元组(a,b,c)。

历史

1996年，艾伦·贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将rad⁡ ⁡ -->(abc){\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}用ε ε -->− − -->ω ω -->rad⁡ ⁡ -->(abc){\displaystyle \varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)}取代，在此ω ω -->{\displaystyle \omega }是a,b,c{\displaystyle a,b,c}的不同质因数的数目。

2007年，吕西安·施皮罗尝试给出证明，后来被发现有错误。

2012年8月，日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明，以他建立的宇宙际泰赫米勒理论（inter-universal Teichmüller theory）为基础。该证明目前正由其他数学专家检查中。当Vesselin Dimitrov和Akshay Venkatesh在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，当中很多也是打字错误。望月新一在网上公开了2013年以及2014年的检验进度报告。

参考

^ukers/ABCpresentation.pdf

^Mollin (2009)

^Mollin (2010) p.297

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^Cipra, Barry,ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science, September 12, 2012 .

^Proof claimed for deep connection between primes

^Kevin Hartnett.An ABC proof too tough even for mathematicians. Boston Globe. 3 November 2012.

^宇宙几何学家望月新一与ABC猜想 (故事续集）

^On the verification of the inter-universal Teichmüller theory: a progress report (as of December 2013)

^[1]

文献

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连结

ABC@homeDistributed Computing project calledABC@Home.

Easy as ABC: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.

MathWorld上abc Conjecture的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。

Abderrahmane Nitaj"sABC conjecture home page

Bart de Smit"sABC Triples webpage

/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf

The amazing ABC conjecture

The ABC"s of Number Theoryby Noam D. Elkies