代数对偶空间

设 V 为 在域 F 上的向量空间，定义其 对偶空间V 为由 V 到 F 的所有线性函数的集合。 即是V的标量线性变换。V* 本身是Ｆ的向量空间并且拥有加法及标量乘法：

∀ φ, ψ ∈ V*, ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V. 在张量的语言中,V的元素被称为反变或逆变（contravariant）向量而V*的元素被称为共变或协变（covariant）向量、“余向量”或“同向量”（co-vectors），“线性型”或“一形”（one-form）。

例子

如果V是有限维的,V*的维度和V的维度便相等; 如果{ e 1 ,..., e n }是V的基，V* 便应该有相对基{ e ,..., e }，记作：

如果V是平面几何向量的空间，V* 便是一组组的平行线。我们能从平行线应用到任何向量产生一个标量。

如果V是无限维度， e 不能产生V* 的基;而V* 的维度比V的大。

例如空间 R 的元素是实数列，其拥有很多非零数字。 R 的双对空间是所有实数数列的空间。这些数列( a n )被用于元素( x n )而产生∑ n a n x n 。

线性映射的转置

设 f : V -> W是线性映射。 f 的 转置 f : W* → V* 定义为

对任何向量空间 V , W {\displaystyle V,W} ，定义 L ( V , W ) {\displaystyle L(V,W)} 为所有从V到W的线性映射组成的向量空间。 f |-> f 产生从 L ( V , W ) {\displaystyle L(V,W)} 至 L ( W ∗ ∗ --> , V ∗ ∗ --> ) {\displaystyle L(W^{*},V^{*})}同构的单射；这是个同构当且仅当W是有限维的。

若 线性映射 f 表示作其对 V , W {\displaystyle V,W} 的基之矩阵 A ,则 f 表示作其对 V ∗ ∗ --> , W ∗ ∗ --> {\displaystyle V^{*},W^{*}} 的对偶基之转置矩阵。 若 g : W → X是另一线性映射，则 ( g o f ) = f o g .

在范畴论的语言里, 为任何向量空间取对偶 及 为任何线性映射取转置 都是向量空间范畴的逆变函子。

双线性乘积及对偶空间

正如所见，如果V拥有有限维度，V跟V*是同构的，但是该同构并不自然；它是依赖于我们开始所用的V的基。事实上，任意同构Φ (V → V*)在V上定义了一个唯一的非退化的双线性型：

相反地从每个在有限维空间中的非退化的双线性积可以产生由V映射到V*的同构。

到双对偶空间内的单射

存在一个由V到其双对偶V**的自然映射Ψ，定义为

(Ψ（v）)(φ) = φ(v) ∀ v ∈ V, φ ∈ V*.

Ψ常是单射; 当且仅当V的维数有限时, Ψ是个同构。

连续对偶空间

处理拓扑向量空间时，我们一般仅对该空间射到其基域的连续线性泛函感兴趣。由此导致 连续对偶空间 之概念，此乃其代数对偶空间之一子空间。向量空间 V 之连续对偶记作 V ′。此脉络下可迳称连续对偶为 对偶 。

线性赋范向量空间 V （如一巴拿赫空间或一希尔伯特空间）之连续对偶 V ′产生一线性赋范向量空间。对一 V 上之连续线性泛函，其范数 ||φ|| 定义为

此法变一连续对偶为一线性赋范向量空间，实为巴拿赫空间。

例子

对任意有限维之线性赋范向量空间或拓扑向量空间，正如欧几里得空间，其连续与代数对偶不二。

令1 < p < ∞为实数，并考虑所有序列 a = ( a n )构成之巴拿赫空间l p，使其范数

有限。以1/ p + 1/ q = 1定义 q ， l 其连续对偶遂自然等同于 l ：给定一元素φ ∈ ( l )， l 中相应元素为序列 (φ( e n ))，其中 e n 谓第 n 项为1且余项皆0之序列。反之，给定一元素 a = ( a n ) ∈ l ， l 上相应之连续线性泛函φ定为φ( a ) = ∑ n a n b n （对一切 a = ( a n ) ∈ l ，见Hölder不等式）。

准此， l 之连续对偶亦自然同构于 l 。再者，巴拿赫空间 c （赋以上确界范数之全体收敛序列）及 c 0 （ c 中收敛至零者）之连续对偶皆自然同构于 l 。

进一步的性质

若 V 为希尔伯特空间，则其连续对偶亦然，并反同构于 V ；此盖黎兹表示定理所明，物理学人赖以描述量子力学之狄拉克符号肇端乎是。

类似双重代数对偶，对连续线性算子亦有连续单射Ψ : V → V ""，此映射实为等距同构，即 ||Ψ( x )|| = || x || 对一切 V 中 x 皆真。使Ψ为双射之空间称自反空间。

连续对偶赋 V 以一新拓扑，名弱拓扑。

若 V 之对偶可分，则 V 亦可分。反之则不然；试取空间 l 1 ，其对偶 l ∞ 不可分。

引用

Bourbaki, Nicolas. Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-64243-9.

Paul Halmos. Finite dimensional vector spaces. Springer. 1974. ISBN 0387900934.

Walter Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Science. 1991. ISBN 978-0070542365.

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