量子力学

在量子力学里， 自伴算子 ，又称为 自伴算符 ，或 厄米算符 （ Hermitian operator ），是一种等于自己的厄米共轭的算符。给予算符 O ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} 和其伴随算符 O ^ ^ --> † † --> {\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!} ，假设 O ^ ^ --> = O ^ ^ --> † † --> {\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!} ，则称 O ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} 为厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可观察量

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O {\displaystyle O\,\!} 的期望值是实值的：

对于任意量子态 | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} ，这关系都成立；

根据伴随算符的定义，假设 O ^ ^ --> † † --> {\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!} 是 O ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} 的伴随算符，则 ⟨ ⟨ --> ψ ψ --> | O ^ ^ --> | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> ∗ ∗ --> = ⟨ ⟨ --> ψ ψ --> | O ^ ^ --> † † --> | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!} 。因此，

这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 O ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} ，都是厄米算符。

可观察量，像位置，动量，角动量，和自旋，都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符 H ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {H}}\,\!} 是一个很重要的自伴算符，表达为

其中， ψ ψ --> {\displaystyle \psi \,\!} 是粒子的波函数， ℏ ℏ --> {\displaystyle \hbar \,\!} 是约化普朗克常数， m {\displaystyle m\,\!} 是质量， V {\displaystyle V\,\!} 是位势。

哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量，一个可观察量。

动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态 | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 的波函数为 ψ ψ --> ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,\!} ，

对于任意量子态 | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} ， p ^ ^ --> = p ^ ^ --> † † --> {\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!} 。所以，动量算符确实是一个厄米算符。

参考文献

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

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