定义

超越数是代数数的相反，也即是说若x{\displaystyle x}是一个超越数，那么对于任何整数an,an− − -->1,… … -->,a0{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}}都符合：

（其中an≠0）

例子

超越数的例子包括：

刘维尔数：∑ ∑ -->k=1∞ ∞ -->10− − -->k!=0.110001000000000000000001000… … -->{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots } 它是第一个确认为超越数的数，是于1844年刘维尔发现的。

e{\displaystyle {\boldsymbol {e}}}（参见：e）。

ea{\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{a}} ，其中 a{\displaystyle a} 是除0以外的代数数。

π π -->{\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}（圆周率圆周率）林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因π π -->{\displaystyle \pi \,}是尺规作图证明尺化圆为方的“化圆为方”的不可实现性。

eπ π -->{\displaystyle {\boldsymbol {e^{\pi }}}}（参见：e的π次方）

22{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}（参见：2的√2次方）。 更一般地，若a{\displaystyle a\,}为零和一以外的任何代数数及b{\displaystyle b\,}为无理代数数则ab{\displaystyle a^{b}\,}必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理。

sin⁡ ⁡ -->1{\displaystyle \sin 1\,}（参见：正弦）

ln⁡ ⁡ -->a{\displaystyle \ln a\,}（自然对数然对数），其中a{\displaystyle a\,}为一不等于有理数有理数。

W(a){\displaystyle \mathbf {W} (a)\,}（参见：朗伯W函数），其中a{\displaystyle a\,}为一正有理数。

Γ Γ -->(13){\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{3}})\,}(≈ ≈ -->2.67894){\displaystyle \left(\approx 2.67894\right)\,}，Γ Γ -->(14){\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})\,}(≈ ≈ -->3.62561){\displaystyle \left(\approx 3.62561\right)\,}及Γ Γ -->(16){\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{6}})\,}(≈ ≈ -->5.56632){\displaystyle \left(\approx 5.56632\right)\,}（参见伽玛函数）。

所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，甚至连π π -->+e{\displaystyle \pi +e\,}是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。

可能的超越数

以下数仍待证明为超越数或代数数：

数e和 π 的大多数和、积、幂等等，例如 π + e, π − e, πe, π/e, π, e, π, π, e 尚未得知是有理数、代数无理数或超越数。值得注意的例外是 π + e, πe 和 e （对于所有正整数 n）已被证明是超越数

欧拉-马歇罗尼常数γ （尚未被证明是无理数）

卡塔兰常数，同样未被证明是无理数

阿培里常数ζ(3) （已由阿培里（英语：Roger Apéry）证明是无理数）

黎曼ζ函数在其他奇整数的取值， ζ(5), ζ(7), ... （尚未被证明是无理数）

费根鲍姆常数， δ 与 α

米尔斯常数

猜想：

Schanuel猜想（英语：Schanuel"s conjecture）

四指数猜想（英语：Four exponentials conjecture）

简要地证明 e 是超越数

第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到 1873 年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特(1862–1943)的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

为寻找矛盾，假设 e 是代数数。那就存在一个有限的整系数集 c0, c1, ..., cn 满足下列等式：

现在对于一个正整数 k ，我们定义如下的多项式：

并在上述等式的两端乘上

于是我们得到等式：

该等式可以写成这种形式

其中

引理 1. 对于恰当选择的的 k ， Pk!{\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}} 是非零整数。

引理 2. 对于充分大的 k ， |Qk!|<1{\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1} 。

注意可以选择满足两个引理的 k ，从而我们能得出矛盾。进而得以证明 e 的超越性。

马勒的分类

库尔特·马勒（英语：Kurt Mahler）在1932年把超越数分为3类，分别叫做S数、T数和U数。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。

实数的无理性度量

一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数 x ，可以使得一次多项式 |qx − p| 尽可能小但不精确地等于 0 。这里的 p , q 是满足 |p| , |q| 以正整数 H 为界的整数。

令 m(x, 1, H) 为这些多项式所取的最小非零绝对值，并且令：

ω(x, 1) 常称为实数 x 的无理性度量（measure of irrationality）。对于有理数 ω(x, 1) = 0 ，而且对无理数其值至少为 1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。 Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。

复数的超越性度量

接下来考虑多项式对于复数 x 的取值，这些多项式系数为整数，次数至多为 n ，而且高（英语：Height of a polynomial）至多为 H ，此处的 n, H 是正整数。

令 m(x,n,H) 为以 x 为变量的上述多项式所取的最小非零值，并且令：

假如对于尽可能小的正整数 n ， ω(x,n) 为无穷大，则这种情况下复数 x 称为 n 次的U数。

现在我们可以定义

ω(x) 常称为 x 的超越性度量（measure of transcendence）。假如 ω(x,n) 有界，则 ω(x) 有限， x 称为S数。如果 ω(x,n) 有限而无界，则 x 称为T数。 x 为代数数当且仅当 ω(x) = 0 。

显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克（英语：William J. LeVeque）在1953年构造了任意次数的U数。刘维尔数是不可数集，从而U数也是。它们的测度为 0 。

T数组成的集合测度亦为 0 。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特（英语：Wolfgang M. Schmidt）在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数。马勒证明了当 x 为任意非零代数数时 ex{\displaystyle e^{x}} 均为S数：这点揭示了 e 是S数且给出了 π 的超越性证明。对于 π 我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。

两个数 x, y 称为代数相关，当存在 2 个变量的整系数非零多项式 P 满足 P(x, y) = 0 。一个有力的定理指出，属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的。这允许我们构造新形式的超越数，例如刘维尔数与 e 或 π 的和。

通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下来的两个字母。

Koksma 的等价分类

Jurjen Koksma（英语：Jurjen Koksma） 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类。

考虑用次数 ≤ n 且高 ≤ H 的代数数逼近复数 x 。令 α 为该有限集中满足 |x − α| 取最小正值得代数数。定义 ω*(x,H,n) 和 ω*(x,n) 如下：

若对于最小的正整数 n， ω*(x,n) 为无穷大，则称 x 为 n 次的U*数。

若 ω*(x,n) 有界且不收敛到 0 ，则则称 x 为S*数，

一个数 x 被称为 A*数 ，当 ω*(x,n) 收敛到 0 。

若所有的 ω*(x,n) 均为有限但无界，则称 x 为T*数，

Koksma和马勒的分类是等价的，因为它们将超越数以同样的方式分类。A*数就是代数数。

勒维克的构造

令

可以证明 λ （刘维尔数）的 n 次方根是 n 次的U数。

此构造可以改进以建立 n 次U数的不可数个系列。令 Z 为上述 λ 的级数中 10 的幂次的集合。 Z 所有子集的集合是不可数的。在表示 λ 的级数中删去任意一个 Z 的子集，将产生不可数个显然的刘维尔数，它们每一个的 n 次方根都是次数为 n 的U数。

类型

数列 {ω(x, n)} 的上界称为类型（type）。几乎所有实数都是类型为 1 的S数，此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数，此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出，于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明。

参见

多项式

无理数

代数数

林德曼-魏尔斯特拉斯定理

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。