实值连续函数最基本也是最常见的连续函数是定义域为实数集的某个子集、取值也是实数的连续函数。例如前面提到的花的高度，就是属于这一类型。这类函数的连续性可以用直角坐标系中的图像来表示。一个这样的函数是连续的，如果粗略地说，它的图像为一个单一的不破的曲线，并且没有间断、跳跃或无限逼近的振荡。严格来说，设f{\displaystylef}是一个从实数集的子集I⊂⊂-->R{\displaystyle\mathbf{I}\subset\mathbb{R}}射到J⊂⊂-->R{\displaystyle\mathbf{J}\subset\mathbb{R}}的函数：f:I⟶⟶-->J{\displaystylef:\mathbf{I}\longrightarrow\mathbf{J}}。f{\displaystylef}在I{\displaystyle\mathbf{I}}中的某个点c{\displa...

基本假设连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设”：即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配。这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，速度，压力等）。这些方程包括描述介质性质的方程（constitutiveequations）和基本的物理定律，如质量守恒定律，动量守恒定律等。研究对象固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的刚体和可变形固体。刚体在一般力学中的刚体力学研究；连续介质力学中的固体力学则研究可变形固体在应力，应变等外界因素作用下的变化规律，主要包括弹性和塑性问题。流体：流体包括液体和气体，无确定形状，可流动。流体最重要的性质是粘性（viscosity，流体对由剪切力引起的形变的抵抗力，无粘性的理想气体，不属于流体力学的研究...

探测显示莫氏不连续面位置的地球截面（标记为2）P波的两条路径，一条直接的路径，一条穿过莫霍面的折射线。图为奥陶纪的莫氏不连续面，地点在加拿大纽芬兰的格罗摩恩国家公园。古代地幔的岩石曝露在地表上，露出了莫氏不连续面。1950年代晚期到1960年代早期之间，美国国家科学基金会（NationalScienceFoundation，NSF）执行委员会（ExecutiveCommittee）曾采纳一项提案，计划在海洋的海床上钻孔以到达此处。这个计划称为“莫霍计划”(ProjectMohole)。然而，该计划从来没有得到足够的支持，该提案也在1967年时被美国国会取消。科拉研究所的苏联科学家同时追求这个目标;15年后，他们在1989年放弃了他们的尝试之前，已经达到了世界最深的洞穴12,260米（40,220英尺）的深度。到达不连续面仍然是一个重要的科学目标。一个提议考虑了一种具有重钨针的岩石熔化放射性...

作为希尔伯特第一问题1900年，大卫·希尔伯特以“连续统假设是否成立”作为“希尔伯特第一问题”。KurtGodel和PaulCohen确定了连续统假设在ZFC系统下，加上了选择公理，也不能证明或证否。连续统假设简记CH。选择公理简记AC。集合的大小要正式地列出这个猜想，我们需要一些定义：假如两个集合S与T之间存在着一个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。直观的意思是在“T的每个元素只能配上仅仅一个S的元素，反之亦然”这个前提下，把S与T的元素拿出来配对是可能的。因此，集合{蕉，苹果，橙}与集合{黄，红，绿}拥有相同基数。当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考虑所有有理数的集合时，有些初学者可能会直觉地认为有理数理所当然地多于整数，而有理数又显然少于实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方法，我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数...

定义对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这两个圆锥外。对于在实数集的子集的函数f::-->D⊆⊆-->R→→-->R{\displaystylef\colonD\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{常数}，若存在常数K{\displaystyleK}，使得|f(a)−−-->f(b)|≤≤-->K|a−−-->b|∀∀-->a,b∈∈-->D{\displaystyle|f(a)-f(b)|\leqK|a-b|\quad\foralla,b\inD}，则称f{\displaystylef}符合利普希茨条件，对于f{\displaystylef}最小的常数K{\displaystyleK}称为f{\displaystylef}的利普希茨常数。若K<1{\display...