古典定义设ΓΓ-->{\displaystyle\Gamma}为作用于复区域D{\displaystyleD}的离散群。取定自守因子jγγ-->(x),(γγ-->∈∈-->ΓΓ-->,x∈∈-->D){\displaystylej_{\gamma}(x),\;(\gamma\in\Gamma,x\inD)}及权m∈∈-->N{\displaystylem\in\mathbb{N}}。相应的权m{\displaystylem}自守形式是D{\displaystyleD}上满足下述函数方程的全纯函数自守因子jγγ-->(x){\displaystylej_{\gamma}(x)}当γγ-->{\displaystyle\gamma}固定时是D{\displaystyleD}上的全纯函数，并且是ΓΓ-->{\displaystyle\...

作为格的函数一个模形式可视为从所有格ΛΛ-->⊂⊂-->C{\displaystyle\Lambda\subset\mathbb{C}}（即：C{\displaystyle\mathbb{C}}中的离散加法子群，使得其商群紧致）的集合映至C{\displaystyle\mathbb{C}}的函数F{\displaystyleF}，使之满足下述条件：若考虑形如ΛΛ-->:=⟨⟨-->αα-->,z⟩⟩-->{\displaystyle\Lambda:=\langle\alpha,z\rangle}之格，其中αα-->{\displaystyle\alpha}为常数而z{\displaystylez}为变数，则F(ΛΛ-->){\displaystyleF(\Lambda)}是z{\displaystylez}的全纯函数。存在常数k{\displ...

语言的形式定义字母表与字符串语言定义在某一个特定的字母表上，字母表（经常记作Σ）可以为任意有限集合。例如集合{a,b,c...,z}{\displaystyle\{a,b,c...,z\}}就表示所有小写字母构成的字母表。字符串是字母表中的元素构成的有穷序列，以之前定义的小写字母表为例，“hello”，“wikipedia”,“abcjkg”都是上面的串，而“AbCd”就不是上面的串了。记号ε表示空串——它是一个特殊的长度为0的串。语言直觉上，一个语言是字母表所能构成的所有串的集合的一个子集，具体来说：对于任意一个字母表，记全体长度为n的子串为ΣΣ-->n{\displaystyle\Sigma^{n}}，特别的，规定ΣΣ-->0{\displaystyle\Sigma^{0}}为{ε}，则还可以定义ΣΣ-->∗∗-->=ΣΣ-->0∪∪-->ΣΣ--&...

理论在数学领域里，形式证明是形式系统的产物，由一些公理与演绎规则组成。定理便是形式证明可能的最后一行结论。这几个步骤总和起来便是数学界通称的形式主义。大卫·希尔伯特创立元数学以作为讨论形式系统的学科。任何用于讨论形式系统的语言称为元语言。元语言也许像普通语言一样自然，或它可能部分形式化，但它通常比起受检验系统的形式语言来得较不正规化。此形式语言称为对象语言，意指问题议论的对象。某些理论学家将形式主义粗略视为形式系统的同义词，但此词也同时指称特定风格的符号，例如保罗·狄拉克的狄拉克符号。在数学中的形式系统由以下要素组成：一群有限数量，且可用于建构公式的符号集合。一套文法，说明了如何以上述符号建构形式良好的公式（通称合式公式，或Well-formedformula，wff）。通常会要求有一个判定某公式是否为形式良好的算法。一群公设或公理模式的陈述，每个公理都必须是合式公式。一群推理规则。延伸阅

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