历史

法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立了棣莫弗公式，并于1730年发表。

公式

当一个复数z以极坐标形式表达，即z=r(cos⁡ ⁡ -->θ θ -->+isin⁡ ⁡ -->θ θ -->){\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}时，其n{\displaystyle n}次方为

其中n{\displaystyle n}属于任何整数。

证明

欧拉公式

最简单的方法是应用欧拉公式。

数学归纳法

正整数情形

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

设命题为P(n)=(cos⁡ ⁡ -->θ θ -->+isin⁡ ⁡ -->θ θ -->)n=cos⁡ ⁡ -->(nθ θ -->)+isin⁡ ⁡ -->(nθ θ -->),n∈ ∈ -->N{\displaystyle P(n)=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ),n\in \mathbb {N} }

当n=1

左式 =(cos⁡ ⁡ -->θ θ -->+isin⁡ ⁡ -->θ θ -->)1=cos⁡ ⁡ -->θ θ -->+isin⁡ ⁡ -->θ θ -->=cos⁡ ⁡ -->(1⋅ ⋅ -->θ θ -->)+isin⁡ ⁡ -->(1⋅ ⋅ -->θ θ -->)={\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{1}=\cos \theta +i\sin \theta =\cos(1\cdot \theta )+i\sin(1\cdot \theta )=} 右式

因此 P(1)成立。

假设P(k){\displaystyle P(k)}成立，即(cos⁡ ⁡ -->θ θ -->+isin⁡ ⁡ -->θ θ -->)k=cos⁡ ⁡ -->(kθ θ -->)+isin⁡ ⁡ -->(kθ θ -->){\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos(k\theta )+i\sin(k\theta )}

当n=k+1{\displaystyle n=k+1}

因此，P(k+1){\displaystyle P(k+1)}也成立。

根据数学归纳法，∀ ∀ -->n∈ ∈ -->N{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }，P(n){\displaystyle P(n)}成立。

负整数情形

只需运用恒等式：

用棣莫弗公式求根

此定理可用来求单位复数的 n{\displaystyle n} 次方根。设 |z|=1{\displaystyle |z|=1}，表为

若 wn=z{\displaystyle w^{n}=z}，则 w{\displaystyle w} 也可以表成：

按照棣莫弗公式：

于是得到

也就是：

当 k{\displaystyle k} 取 0,1,… … -->,n− − -->1{\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}，我们得到 n{\displaystyle n} 个不同的根：

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