麦克斯韦原本的方程

在这篇论文的标题为电磁场一般方程的第三章里，麦克斯韦列出了涉及二十个未知量的二十个方程，在那时期，称为麦克斯韦方程组。由于矢量微积分尚在发展中，这二十个方程都是以分量形式表示，其中，有十八个方程可以用六个矢量方程集中表示（对应于每一个直角坐标，有一个方程），另外剩下的两个是标量方程。所以，以矢量标记，麦克斯韦方程组可以表示为八个方程。1884年，从这八个方程，奥利弗·亥维赛重新编排出四个方程，并且称这一组方程为麦克斯韦方程组。今天广泛使用的麦克斯韦方程组就是亥维赛编成的这一组方程。

亥维赛版本的麦克斯韦方程组是以现代矢量标记法写出。在原先版本的八个方程里，只有一个方程，高斯定律的方程(G)，完整不变地出现于亥维赛版本。另外一个在亥维赛版本的方程，乃是由总电流定律的方程(A)与安培环路定理的方程(C)共同凑合而成。这方程包含了麦克斯韦的位移电流，是安培环路定理的延伸。

以矢量标记，麦克斯韦方程组的原先版本的八个方程，分别写为

关于介质的性质，麦克斯韦并没有试着处理比较复杂的状况。他表述的主要是线性、均向性、非色散性物质；他也稍微谈到一些有关异向性的晶体物质的问题。

值得注意的是，麦克斯韦将 μ μ -->v× × -->H{\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} } 项目包括于他的合势方程(D)。这项速度达一个以速度 v{\displaystyle \mathbf {v} } 移动的导体所感受到的单位电荷的磁场力而产生的动生电动势。这意味着合势方程(D)表达了洛伦兹力。这方程最先出现为论文《论物理力线》的方程(77)，比洛伦兹想到这问题早了很多年。现在，洛伦兹力方程列为麦克斯韦方程组之外的额外方程，并没有被包括在麦克斯韦方程组里面。

光波是电磁波

麦克斯韦，电磁学之父

在论文《电磁场的动力学理论》里，麦克斯韦应用了的1861年论文《论物理力线》第三节里对于安培环路定理的修正，将位移电流与其它已成立的电磁方程合并，因而得到了描述电磁波的波动方程。最令人振奋的是，这方程所描述的波动的波速等于光波的速度。他于是说：

麦克斯韦在对于光波是一种电磁现象的推导里，并没有使用法拉第电磁感应定律，而是使用方程(D)来解释电磁感应作用。由于不考虑导体的运动，项目 μ μ -->v× × -->H{\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} } 可以。事实上，他的八个方程里，并没有包括法拉第电磁感应定律方程在内。

由于麦克斯韦的推导比较冗长，现代的教科书已不再采用这推导，改而选择另一种比较简易了解的推导，这推导主要是使用麦克斯韦-安培定律（安培环路定理的延伸）与法拉第电磁感应定律。

麦克斯韦的推导

假设电磁波是一个平面波，以波速 V{\displaystyle V} 向正z-轴的方向传播于某介质，则描述此电磁波的每一个函数都拥有参数 w=z− − -->Vt{\displaystyle w=z-Vt} 。根据磁矢量定义式(B)，

其中，B =def μ μ -->H{\displaystyle B\ {\stackrel {def}{=}}\ \mu \mathbf {H} } 是磁感应强度的定义式。

注意到 Bz=0{\displaystyle B_{z}=0} ， 还有，B{\displaystyle \mathbf {B} } 垂直于平面波的传播方向，这电磁波是个横波。

根据安培环路定理(C)，

假设介质是个绝缘体，传导电流密度 J{\displaystyle \mathbf {J} } 等于零，则根据总电流定律(A)和电弹性方程(E)，

假设导体的速度等于零，即动生电动势项目等于零，则根据合势方程(D)，

再应用磁矢量定义式(B)，就可以得到磁场的波动方程：

链式法则要求

所以，

传播的速度为

设定磁导率为磁常数μ μ -->0{\displaystyle \mu _{0}} ，电容率为电常数ϵ ϵ -->0{\displaystyle \epsilon _{0}} ，则传播速度是自由波传播于自由空间的速度。

类似地，应用合势方程(D)，可以得到电场的波动方程：

注意到，Ez{\displaystyle E_{z}} 可能不等于零。在尚未更清楚了解电荷密度的性质之前，麦克斯韦不排除电场波为纵波的可能性。

现代推导

在自由空间里，亥维赛版的麦克斯韦方程组的四个微分方程为

其中，μ μ -->0{\displaystyle \mu _{0}} 是磁常数，ε ε -->0{\displaystyle \varepsilon _{0}} 是电常数。

分别取公式 (2) 、(4) 的旋度，

应用一则矢量恒等式

其中，Z{\displaystyle \mathbf {Z} } 是任意矢量函数。

将公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波动方程：

其中，c=c0=1μ μ -->0ε ε -->0=2.99792458× × -->108{\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}} ［米／秒］是电磁波传播于自由空间的速度。

参阅

《论法拉第力线》

电磁波方程

弯曲时空中的麦克斯韦方程组

非齐次的电磁波方程

麦克斯韦应力张量

麦克斯韦方程组的历史

电磁学与经点光学时间表(Timeline of electromagnetism and classical optics)

参考文献

Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Eugene, OR: Wipf and Stock, March 1996, ISBN 1-57910-015-5 

Niven, W. D., The Scientific Papers of James Clerk MaxwellVol. 1, New York: Dover, 1952 

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