等加速度的方程式

我们可以借由分解力的方法得到一个加速度的方程式。如果绳子无重量、无弹性，滑轮理想（无视半径）且无重量，那么我们只需要考虑张力（T），还有两个物体的重量（mg）。再来为了找出合力（∑ ∑ -->F{\displaystyle \sum F}），必须先找出个别影响两物体的力。

m1的力: T− − -->m1g{\displaystyle \;T-m_{1}g}

m2的力: m2g− − -->T{\displaystyle \;m_{2}g-T}

∑ ∑ -->F=(m2g− − -->T)+(T− − -->m1g)=g(m2− − -->m1){\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})}

利用牛顿第二定律，我们可以得到整个系统的等加速度方程式。

∑ ∑ -->F=ma{\displaystyle \sum F=ma}

a=∑ ∑ -->Fm{\displaystyle a={\sum F \over m}}

∑ ∑ -->F=g(m2− − -->m1){\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})}

m=(m1+m2){\displaystyle \;m=(m_{1}+m_{2})}

a=gm2− − -->m1m1+m2{\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}

阿特伍德机有时候也被用来说明拉格朗日力学中获得的运动方程式。

张力的方程式

上述的方程式也可用来计算绳子上的张力，只需要将得到的等加速度方程式代入两物体的力方程式之一中。

a=gm2− − -->m1m1+m2{\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}

例如代入m1a=T− − -->m1g{\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g}，我们得到

T=g2m1m2m1+m2{\displaystyle T=g{2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}

借由同样的方法，张力也可以从m2a=m2g− − -->T{\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T}中求得。

非理想的滑轮

若m1与m2之间的重量差距很小时，滑轮的半径（r）造成的转动惯量（I）则不可以被忽略。

滑轮的角加速度可以从以下算式求得：

α α -->=ar{\displaystyle \alpha ={a \over r}}

在此情况下，系统的总力矩为：

τ τ -->Total=(T2− − -->T1)r=Iα α -->+τ τ -->friction{\displaystyle \tau _{Total}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r=I\alpha +\tau _{friction}}

参考

^漆安慎、杜婵英. 《力学》（第二版）. 高等教育出版社. 2005: 76页. ISBN 978-7-04-016624-8. 

^Tipler, Paul A. Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version. New York: Worth Publishers. 1991. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13, page 160.

^Goldstein, Herbert. Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. 1980. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2, pages 26-27.

"Atwood"s Machine" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.

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