词源

有理数在希腊文中称为λογος，原意是“成比例的数”。英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。对应地，无理数则为“不可比数”。

但并非中文翻译不恰当。有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。

明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（“λογος”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。

当有理数从日本传回中国时又延续错误。清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法

可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。

运算

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下：

两个有理数ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}和cd{\displaystyle {\frac {c}{d}}}相等当且仅当ad=bc{\displaystyle ad=bc}

有理数中存在加法和乘法的逆：

古埃及分数

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上(a,b){\displaystyle \left(a,b\right)}的等价类，这里b{\displaystyle b}不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

为了使24=12{\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}，定义等价关系∼ ∼ -->{\displaystyle \sim }如下：

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：Q=Z× × -->(Z− − -->{0})/∼ ∼ -->{\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }。例如：两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

Q上的全序关系可以定义为：

性质

有理数集是可数的

集合Q{\displaystyle \mathbb {Q} }，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数Z{\displaystyle \mathbb {Z} }的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的一个拷贝（即存在一个从Q{\displaystyle \mathbb {Q} }到其中的同构映射）。

Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是说Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的基数（或势）与自然数集合N{\displaystyle \mathbb {N} }相同，都是阿列夫数ℵ ℵ -->0{\displaystyle \aleph _{0}}。因为所有实数的集合是不可数勒贝格测度格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数是个稠密的集合：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。

实数

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量d(x,y)=|x− − -->y|{\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}，有理数构成一个度量空间，这是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是Q{\displaystyle \mathbb {Q} }的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将Q{\displaystyle \mathbb {Q} }转化到拓扑域：

设p{\displaystyle p}是素数，对任何非零整数a{\displaystyle a}设|a|p=p− − -->n{\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}，这里pn{\displaystyle p^{n}}是整除a{\displaystyle a}的p{\displaystyle p}的最高次幂；

另外|0|p=0{\displaystyle |0|_{p}=0}。对任何有理数ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}，设|ab|p=|a|p|b|p{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}。

则dp(x,y)=|x− − -->y|p{\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}在Q{\displaystyle \mathbb {Q} }上定义了一个度量。

度量空间(Q,dp){\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}不完备，它的完备集是p进数域Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}。

参见

浮点数

尼云定理

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