一次不定方程

一次不定方程是形式如 a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = c {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=c} 的方程，一次不定方程有整数解的充要条件为：

换言之 g c d ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle gcd(a_{1},...,a_{n})} 须是 c {\displaystyle c} 的因数，其中 g c d ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle gcd(a_{1},...,a_{n})} 表示 a 1 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},...,a_{n}} 的最大公因数。

若有二元一次不定方程 a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} ，且 g c d ( a , b ) | c {\displaystyle gcd(a,b)|c} ，则其必有一组整数解 x 1 , y 1 {\displaystyle x_{1},y_{1}} ，并且还有以下关系式：

x = x 1 + [ b / ( a , b ) ] t {\displaystyle x=x_{1}+[b/(a,b)]t}

y = y 1 − − --> [ a / ( a , b ) ] t {\displaystyle y=y_{1}-[a/(a,b)]t}

t {\displaystyle t} 为任意整数，故此一次不定方程有无限多解。请参见贝祖等式。

丢番图分析

经典问题

有解答吗？

除了一些显然易见的解答外，还有哪些解答？

解答的数目是有限还是无限？

理论上，所有解答是否都能找到？

实际上能否计算出所有解答？

希尔伯特第十问题

1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（英语：Matiyasevich"s theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程是否有解，甚至，在任何相容于皮亚诺算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。

现代研究

丢番图集是递归可枚举集。

常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。

丢番图逼近研究了变数为整数，但系数可为无理数的不等式。

参见

图灵完全

参考文献

Mordell, L. J. Diophantine equations. Academic Press. 1969. ISBN 0-12-506250-8. 

Schmidt, Wolfgang M. Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics.Springer-Verlag. 2000. 

Shorey, T. N.; Tijdeman, R. Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics 87. Cambridge University Press. 1986. ISBN 0-521-26826-5. 

Smart, N. P. The algorithmic resolution of Diophantine equations. London Mathematical Society Student Texts 41. Cambridge University Press. 1998. ISBN 0-521-64156-X. 

Stillwell, John. Mathematics and its History Second Edition. Springer Science + Business Media Inc. 2004. ISBN 0387953361. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

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