陈述

克莱因-戈尔登方程为

很多时候会用自然单位（c=ħ=1）写成

由于平面波为此方程已知的一组解，所以方程形式由它决定：

遵从狭义相对论的能量动量关系式

跟薛定谔方式不同，每一个 k 在此都对应着两个 ω ω --> {\displaystyle \omega } ，只有通过把频率的正负部分分开，才能让方程描述到整个相对论形式的波函数。若方程在时间流逝下不变，则其形式为

相对论量子力学下的形式推导

自由粒子的薛定谔方程是非相对论量子力学的最基本方程：

其中 p = − − --> i ℏ ℏ --> ∇ ∇ --> {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } } 是动量算符。

薛定谔方程并非相对论协变的，意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。

利用狭义相对论中四维动量的不变性导出的相对论动量能量关系，相对论能量

替换薛定谔方程左边自由粒子的动能 p 2 2 m {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}} ，

并最终得到它的协变形式

其中 μ μ --> = m c ℏ ℏ --> {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,}

达朗贝尔算符 ◻ ◻ --> 2 = 1 c 2 ∂ ∂ --> 2 ∂ ∂ --> t 2 − − --> ∇ ∇ --> 2 {\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,}

从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程是一个量子力学的 波方程 。

量子场论下的形式推导

场论中，对于自旋为零的场（标量场），拉格朗日量被写成

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位，将光速 c {\displaystyle c} 和普朗克常数 ℏ ℏ --> {\displaystyle \hbar } 都取作1。

代入欧拉-拉格朗日方程 ∂ ∂ --> L ∂ ∂ --> ϕ ϕ --> − − --> ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> x μ μ --> ∂ ∂ --> L ∂ ∂ --> ( ∂ ∂ --> μ μ --> ϕ ϕ --> ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\phi )}}=0,} 可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程只是一个经典场的 场方程 。

自由粒子解

相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程这样的波方程仍然具有形式上的波包解：

其中 − − --> k 2 + ω ω --> 2 c 2 = m 2 c 2 ℏ ℏ --> 2 . {\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}

从克莱因-戈尔登方程得出的能量本征值为

因而克莱因-戈尔登方程的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的.英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程，但这个方程仍然没有避免出现负能量。从那时起物理学家们逐渐意识到负能量的出现实际上意味着反粒子的存在。

行波解

克莱因-戈尔登方程有行波解

参见

狄拉克方程

量子场论

参考资料

Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.

Greiner, W. (1990). Relativistic Quantum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-67457-8.

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