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测度

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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定义正式的定义为，一个测度μμ-->{displaystylemu}（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设A{displaystyle{mathcal{A}}}的元素

定义

正式的定义为，一个测度μ μ --> {\displaystyle \mu \ }（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设A{\displaystyle {\mathcal {A}}} 的元素是 X {\displaystyle X\ }的子集合，而且是一个σ σ --> {\displaystyle \sigma } -代数，μ μ --> {\displaystyle \mu \ }在A{\displaystyle {\mathcal {A}}}上定义，于[0,∞ ∞ -->]{\displaystyle [0,\infty ]}中取值，并且满足以下性质：

空集合的测度为零：

可数可加性，或称σ σ -->{\displaystyle \sigma }-可加性：若E1,E2,⋯ ⋯ -->{\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }为A{\displaystyle {\mathcal {A}}}中可数个两两不相交集合的序列，则所有Ei {\displaystyle E_{i}\ }的联集的测度，等于每个Ei {\displaystyle E_{i}\ }的测度之和：

这样的三元组(X,A,μ μ -->){\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}称为一个测度空间，而A{\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的元素称为这个空间中的可测集合。

性质

下面的一些性质可从测度的定义导出：

单调性

测度μ μ --> {\displaystyle \mu \ }的单调性：若E1 {\displaystyle E_{1}\ }和E2 {\displaystyle E_{2}\ }为可测集，而且E1⊆ ⊆ -->E2{\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}，则μ μ -->(E1)≤ ≤ -->μ μ -->(E2){\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}。

可数个可测集的并集的测度

若E1,E2,E3⋯ ⋯ -->{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }为可测集（不必是两两不交的），则集合En {\displaystyle E_{n}\ }的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

如果还满足并且对于所有的n {\displaystyle n\ }，En {\displaystyle E_{n}\ }⊆En+1 {\displaystyle E_{n+1}\ }，则如下极限式成立：

可数个可测集的交集的测度

若E1,E2,⋯ ⋯ -->{\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }为可测集，并且对于所有的n {\displaystyle n\ }，En+1 {\displaystyle E_{n+1}\ }⊆En {\displaystyle E_{n}\ }，则En {\displaystyle E_{n}\ }的交集是可测的。进一步说，如果至少一个En {\displaystyle E_{n}\ }的测度有限，则有极限：

如若不假设至少一个En {\displaystyle E_{n}\ }的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个n∈ ∈ -->N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }，令

这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限测度

如果μ μ -->(Ω Ω -->) {\displaystyle \mu (\Omega )\ }是一个有限实数（而不是∞ ∞ -->{\displaystyle \infty }），则测度空间(X,A,μ μ -->){\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}称为有限测度空间。如果Ω Ω --> {\displaystyle \Omega \ }可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限测度空间。如果测度空间中的一个集合A {\displaystyle A\ }可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称A {\displaystyle A\ }具有σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限测度。

作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k取遍整数的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为∞ ∞ -->{\displaystyle \infty }。这样的测度空间就不是σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ σ -->{\displaystyle \s拓扑空间 }-有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

完备性

一个可测集N {\displaystyle N\ }称为零测集，如果μ μ -->(N)=0 {\displaystyle \mu (N)=0\ }。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑X {\displaystyle X\ }的所有这样的子集F {\displaystyle F\ }，它与某个可测集E {\displaystyle E\ }仅差一个可去集，也就是说E {\displaystyle E\ }与F {\displaystyle F\ }的对称差包含于一个零测集中。由这些子集F {\displaystyle F\ }生成的σ代数，并定义μ μ -->(F) {\displaystyle \mu (F)\ }的值就等于μ μ -->(E) {\displaystyle \mu (E)\ }。

例子

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

计数测度　定义为μ μ -->(S)=S {\displaystyle \mu (S)=S\ }的“元素个数”。

一维勒贝格测度是定义在R{\displaystyle \mathbb {R} }的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足μ μ -->([0,1])=1 {\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }的唯一测度。

Circular angle测度是旋转不变的。

局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。

恒零测度定义为μ μ -->(S)=0 {\displaystyle \mu (S)=0\ }，对任意的S {\displaystyle S\ }。

每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。