定义

定义1

域是交换性除环。

定义2

域是一种交换环( F , +, *)，当中加法单位元（0）不等于乘法单位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。

定义3

域明确的满足如下性质：

其中0 ≠ 1的要求排除了没有什么意义的只由一个元素组成的域。

由以上性质可以得出一些最基本的推论：

例子

常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合 C {\displaystyle \mathbb {C} } 对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 也是一个域，它是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的 子域 ，并且不包含更小的子域了。

代数数域：代数数域是有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩域，也就是说代数数域是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的有限维向量空间。代数数域都同构于 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的子域，并且这个同构保持 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。

代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作 Q ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} 。 Q ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} 是有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的代数闭包（见下)。 Q ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} 是特征为零的代数封闭的域的一个例子。

全体实数的集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。

所有的实代数数的集合也构成一个域，它是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的一个子域。

任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作 F q ，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于 Z / p Z = {0, 1, ..., p − 1}。令 p = 2,就得到最小的域： F 2 。 F 2 只含有两个元素0和1运算法则如下：

设 E 和 F 是两个域， E 是 F 的子域，则 F 是 E 的 扩域 。设 x 是 F 中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含 E 和 x 的 F 的子域，记作 E (x) ， E (x) 称作 E 在 F 中关于 x 的 单扩张 。比如说，复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 就是实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 在 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中关于虚数单位 i 的单扩张。

每一个有乘法幺元的环 R 都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作 K ( R )。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明， K ( R )是包含 R 的“最小”的域。

设 F 是一个域，定义 F (X) 是所有以 F 中元素为系数的分式的集合，则 F (X) 是 F 的一个扩域。 F (X) 是 F 上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。

设 F 是一个域， p ( X )是多项式环 F [ X ]上的一个不可约多项式，则商环 F [ X ]/是一个域。其中的表示由 p ( X )生成的理想。举例来说， R [ X ]/是一个域（同构于复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } ）。可以证明， F 的所有单扩张都同构于此类形式的域。

若 V 是域 F 上的一个代数簇，则所有 V → F 的有理函数构成一个域，称为 V 的 函数域 。

若 S 是一个黎曼曲面，则全体 S → C 的亚纯函数构成一个域。

由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于 2 2 n {\displaystyle 2^{2^{n}}} 的所有自然数构成的子集）都是域。

基本性质

域 F 中的所有非零元素的集合（一般记作 F ）是一个关于乘法的阿贝尔群。 F 的每个有限子群都是循环群。

若存在正整数 n 使得0 = 1 + 1 + ... + 1（ n 个1），那么这样的 n 中最小的一个称为这个域的 特征 ，特征要么是一个素数 p ，要么是0（表示这样的 n 不存在）。此时 F {\displaystyle F} 中最小的子域分别是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 或有限域 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} ，称之为 F {\displaystyle F} 的 素域 。

一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。

在选择公理成立的假设下，对每个域 F 都存在着唯一的一个域 G （在同构意义上）， G 包含 F ， G 是 F 的代数扩张，并且 G 代数封闭。 G 称作由 F 确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说 G 是 F 的一个代数闭包。

参见

特征 (代数)

环论

域论

有序域

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