简单介绍

希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界自伴算子的著作中 ，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特 和朗道展开，随后由尤金·维格纳（ Eugene Wigner ）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》 （ The Theory of Groups and Quantum Mechanics ）中就使用了这一名词。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个复希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学表述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。

定义

在一个复数向量空间 H {\displaystyle H} 上的给定的内积 {\displaystyle } 可以按照如下的方式导出一个范数（norm） ∥ ∥ --> . ∥ ∥ --> {\displaystyle \Vert .\Vert } ：

此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为 0 {\displaystyle 0} 。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。

任何 有限维内积空间（如欧几里得空间及其上的点积）都是希尔伯特空间 。但从实际应用角度来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值，例如

酉群（unitary group）的表示论。

平方可积的随机过程理论。

偏微分方程的希尔伯特空间理论，特别是狄利克雷问题。

函数的谱分析及小波理论。

量子力学的数学描述。

内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。

常见的例子

在以下例子中，假设所有的希尔伯特空间都是复数，尽管实际应用中大多是实数。

欧几里得空间

C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 及其上的内积

构成了一个希尔伯特空间，其中短横线表示一个复数的复共轭。

序列空间

更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设 B {\displaystyle B} 是一个任意集合，可以定义其上的 ℓ ℓ --> 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 序列空间，记为

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：

其中 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是 ℓ ℓ --> 2 ( B ) {\displaystyle \ell ^{2}(B)} 中的任意元素。在这个定义中， B {\displaystyle B} 并非一定要是可数的，在 B {\displaystyle B} 不可数之情形下， ℓ ℓ --> 2 ( B ) {\displaystyle \ell ^{2}(B)} 不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的 B {\displaystyle B} 的情况下，都可以表示成为 ℓ ℓ --> 2 ( B ) {\displaystyle \ell ^{2}(B)} 的一个同构空间。特别地，当 B = ( N ) {\displaystyle B=\mathbb {(} N)} 的时候，可以将其简单记为 ℓ ℓ --> 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 。

勒贝格空间

勒贝格空间( 这里指 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} 空间 )是指定义在测度空间 ( X , M , μ μ --> ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )} 上的函数空间，其中 X {\displaystyle X} 代表函数的定义域， M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的元素是 X {\displaystyle X} 上的子集合，为 一个 σ σ --> {\displaystyle \sigma } 代数，一般把 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 称作可测空间(measurable space)，而 μ μ --> {\displaystyle \mu } 是 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 上的测度。

更仔细的说， L 2 ( X , μ μ --> ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )} ( 简写做 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} ) 表示 X {\displaystyle X} 上所有平方可积（square-integrable）的复数值的可测函数的集合。平方可积表示该绝对值绝对值的积分的积分是有限的。要注意的是在 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} 空间里，对于几乎处处( almost everywhere )相同的函数，也就是说如果两函数只测度个测度为0的集合上不相等，我们把这两函数当做在 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} 中相同的元素。

此时两个函数 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 的内积定义为

因为 f , g ∈ ∈ --> L 2 ( X ) {\displaystyle f,g\in L^{2}(X)} ，所以这内积的定义没有问题。

但需要证明的是：

此空间在此内积下是完备的。

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于 L p {\displaystyle L^{p}} 空间的著作。

索伯列夫空间

索伯列夫空间一般表示为 H s {\displaystyle H^{s}} 或者 W s , 2 {\displaystyle W^{s,2}} 是希尔伯特空间的另一个重要实例，它多被应用于偏微分方程的研究。

希尔伯特空间的相互作用

给定任意两个（或更多）希尔伯特空间，利用直和或张量积的方式，可以给出一个更大的希尔伯特空间。

希尔伯特空间的基

希尔伯特空间的一个中间概念是标准正交基，即其上的一族函数 { e k } k ∈ ∈ --> B {\displaystyle \{e_{k}\}_{k\in B}} 满足：

所有元素都是单位化的：即对于任意 x {\displaystyle x} ， ∥ ∥ --> e k ∥ ∥ --> = 1 {\displaystyle \Vert e_{k}\Vert =1} ， ∀ ∀ --> k ∈ ∈ --> B {\displaystyle \forall k\in B} 。

所有元素彼此正交：若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是这族基中的不同元素，那么 = 0 {\displaystyle =0} 。

其线性扩张稠密：即其中的所有元素的有限的线性组合是 H {\displaystyle H} 的一个稠密子集。

有时也使用 标准正交列 或 标准正交集 指代。

标准正交基的一些实例：

集合（ { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } {\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}} ）

请参见

完备的度量空间或完备的距离空间

完备的赋范空间

n维欧几里得空间

注解和引用

Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis , Academic Press, 1960.

B.M. Levitan,Hilbert space, (编) Hazewinkel, Michiel,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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