理论

在数学里，叠加原理表明，线性方程的任意几个解所组成的线性组合也是这方程的解。由于薛定谔方程是线性方程，叠加原理也适用于量子力学，在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 | f 1 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |f_{1}\rangle } 或 | f 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |f_{2}\rangle } ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合 | f ⟩ ⟩ --> = c 1 | f 1 ⟩ ⟩ --> + c 2 | f 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle } ，也满足同样的薛定谔方程；其中， c 1 {\displaystyle c_{1}} 、 c 2 {\displaystyle c_{2}} 是复值系数，为了归一化 | f ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |f\rangle } ，必须让 | c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1} 。

假设 θ θ --> {\displaystyle \theta } 为实数，则虽然 e i θ θ --> | f 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle e^{i\theta }|f_{2}\rangle } 与 | f 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |f_{2}\rangle } 标记同样的量子态，他们并无法相互替换。例如， | f 1 ⟩ ⟩ --> + | f 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle } 、 | f 1 ⟩ ⟩ --> + e i θ θ --> | f 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle } 分别标记两种不同的量子态。但是， | f 1 ⟩ ⟩ --> + | f 2 ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle } 和 e i θ θ --> ( | f 1 ⟩ ⟩ --> + | f 2 ⟩ ⟩ --> ) {\displaystyle e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )} 都标记同一个量子态。因此可以这样说，整体的相位因子并不具有物理意义，但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为“相干量子叠加”。

电子自旋范例

设想自旋为 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 的电子，它拥有两种相互正交的自旋本征态，上旋态 | ↑ ↑ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\uparrow \rangle } 与下旋态 | ↓ ↓ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\downarrow \rangle } ，它们的量子叠加可以用来表示量子位元：

其中， c ↑ ↑ --> {\displaystyle c_{\uparrow }} 、 c ↓ ↓ --> {\displaystyle c_{\downarrow }} 分别是复值系数，为了归一化 | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi \rangle } ，必须让 | c ↑ ↑ --> | 2 + | c ↓ ↓ --> | 2 = 1 {\displaystyle |c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1} 。

这是最一般的量子态。系数 c ↑ ↑ --> {\displaystyle c_{\uparrow }} 、 c ↓ ↓ --> {\displaystyle c_{\downarrow }} 分别给定电子处于上旋态或下旋态的概率：

总概率应该等于1： p = p ↑ ↑ --> + p ↓ ↓ --> = | c ↑ ↑ --> | 2 + | c ↓ ↓ --> | 2 = 1 {\displaystyle p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1} 。

这电子也可能处于这两个量子态的叠加态：

电子处于上旋态或下旋态的概率分别为

再次注意到总概率应该等于1：

非相对论性自由粒子案例

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为

其中， ℏ ℏ --> {\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数， Ψ Ψ --> ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是粒子的波函数， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是粒子的位置， t {\displaystyle t} 是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解：

其中， k {\displaystyle \mathbf {k} } 是波矢， ω ω --> {\displaystyle \omega } 是角频率。

代入薛定谔方程，这两个变数必须遵守关系式

由于粒子存在的概率等于1，波函数 Ψ Ψ --> ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 必须归一化，才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加：

其中，积分区域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 是 k {\displaystyle \mathbf {k} } -空间。

为了方便计算，只思考一维空间，

其中，振幅 A ( k ) {\displaystyle A(k)} 是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

其中， Ψ Ψ --> ( x , 0 ) {\displaystyle \Psi (x,0)} 是在时间 t = 0 {\displaystyle t=0} 的波函数。

所以，知道在时间 t = 0 {\displaystyle t=0} 的波函数 Ψ Ψ --> ( x , 0 ) {\displaystyle \Psi (x,0)} ，通过傅里叶变换，可以推导出在任何时间的波函数 Ψ Ψ --> ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 。

参见

波函数

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