记号和系统

演算介入了量词，因而本质上是经典的谓词逻辑，尽管使用了一种特异的二维记号（notation）：连结词和量词使用连接公式的线条来书写，而不是今天使用的符号（symbol）¬、∧、∀。例如，在判断B和A之间的蕴涵，也就是B→ → -->A{\displaystyle B\rightarrow A}用来指定。

在他的著作的第一章中，弗雷格确定了基本概念和标号（sign），象命题（"断定／判断"），和全称量词（"普遍性"），蕴涵（"条件性"），否定和等号≡ ≡ -->{\displaystyle \equiv }；在第二章中他声明了九个形式化的命题作为公理（它们是在语义上证明了的形式化陈述）。

他给出了条件的定义（第1章。§5.）:

设标示（sign）第三种可能性是不能得到的，而只能是其他三种中的一个。所以如果我们否定就意味着第三种可能性是有效的，就是说我们否定了A并肯定了B。"

弗雷格著作中的演算

弗雷格声明了九个重言式断定作为公理。他以语义方式证明了它们，并以语法上的演绎证明了其他重言式断定。

⊢ ⊢ -->  A→ → -->(B→ → -->A){\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}

⊢ ⊢ -->  [ A→ → -->(B→ → -->C) ] → → --> [ (A→ → -->B)→ → -->(A→ → -->C) ]{\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}

⊢ ⊢ -->  [ D→ → -->(B→ → -->A) ] → → --> [ B→ → -->(D→ → -->A) ]{\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}

⊢ ⊢ -->  (B→ → -->A) → → --> (¬ ¬ -->A→ → -->¬ ¬ -->B){\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}

⊢ ⊢ -->  ¬ ¬ -->¬ ¬ -->A→ → -->A{\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}

⊢ ⊢ -->  A→ → -->¬ ¬ -->¬ ¬ -->A{\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}

⊢ ⊢ -->  (c=d)→ → -->(f(c)=f(d)){\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)=f(d)\right)}

⊢ ⊢ -->  c=c{\displaystyle \vdash \ \ c=c}

⊢ ⊢ -->  ( ∀ ∀ -->a:f(a) ) → → --> f(c){\displaystyle \vdash \ \ \left(\ \forall a:f(a)\ \right)\ \rightarrow \ f(c)}

弗雷格在第二章中历数了被形式化的命题；成为了他的公理的是第1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54, 58个命题。

他在这章中还声明了两个推理规则：它们是肯定前件；和代换律。在第一章中他宣布了一个约定，即“普遍化律”。这意味着如果“自由变量”能在一个断定中找到，则把它当作全称量化的，依据弗雷格的定律，在⊢ ⊢ -->{\displaystyle \vdash }标号（“断定符号”）之后的，被固定的（fixed）变量是断定，而不是“开放”的公式，也就是谓词。

弗雷格在第二和第三章中在语法上证明了一百多个形式陈述。第三章（"Parts from a general series theory"）是对他在建造算术上做的工作的介绍。

对其他著作的影响

它的记号的某些痕迹幸存了：被逻辑学家非正式的叫做“十字转门”（turnstile）的符号⊢ ⊢ -->{\displaystyle \vdash }演化自弗雷格的“Inhaltsstrich”─和“Urteilsstrich”│。弗雷格在《Begriffsschrift》中以合一的形式├─使用这些符号来声明一个命题是（重言式）真的，而不是简单的宣布它。他使用“Definitionsdoppelstrich”│├─作为表示一个命题是一个定义的符号。

在逻辑哲学论中，维特根斯坦通过使用术语“Begriffsschrift”作为逻辑的同义词来表达对弗雷格的敬意。

在弗雷格后来的著作《意义和引用》中，它放弃了在本书中关于同一性达成的某些结论（用数学上的 = 号来标记）。

一段引文

"如果哲学的任务是打破言辞在表达人类思想上的统治[...]，那么我的概念记号，就是为这个目的而开发的，它能够成为哲学家的有用的工具[...]我认为，只是通过发明这些概念记号，逻辑的本质（matter）就已经被促进了（forward）。"

引用

Gottlob Frege。Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.

Risto Vilkko, 1998. "The reception of Frege"s Begriffsschrift". Historia Mathematica 25(4):412-422.

参见

弗雷格命题演算

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。