生平雅可比生于一个阿什肯纳兹犹太家庭父亲西蒙·雅可比是银行家。卡尔是四个子女中的第二子，其长兄莫里兹·冯·雅可比之后同样因成为工程师和物理学家而出名。最初，雅可比在家接受其叔叔的家庭教育，学习了简单的数学和语言。在1816年，12岁的雅可比进入波茨坦文理中学（预科学校）学习经典语言，德语，以及数学。缘于叔叔对他的良好基础教育，以及自身的杰出能力，在不到半年的时间内雅可比就跳级到了高年级，尽管年龄还未达到标准。然而，因为大学并不招收16岁以下的学生，因此，雅可比直到1821年才能从学校毕业。在这段时间里，雅可比显示出了对很多专业的兴趣，包括拉丁语，希腊语，哲学，历史，以及数学。在这段时间中，雅可比第一次尝试寻找五次方程的根式。1821年，雅可比进入柏林大学就读，并于1825年于柏林大学获博士学位。一开始，他将自己的精力同时放到哲学和数学两个领域。在哲学上，他参加了伯克(AugustBoeck...

数值稳定计算要确定需要更改的数量，我们必须解远离对角的元素为零的方程（Golub&VanLoan1996，§8.4）。这蕴涵了设β是这个数量的一半，如果akℓ是零，我们可以停止而不需要进行更改，因此我们永不除以零。设t是tanϑ。则通过一些三角恒等式我们简约这个方程为为了稳定性我们选择解以此我们可以获得c和s为尽管我们可以使用前面给出的代数更改等式，重写它们会更好。设所以ρ=tan(ϑ/2)。则修订后的修改方程为如前面提及的，我们永不需要明确的计算旋转角度ϑ。事实上，我们可以通过只保留三个值k,ℓ和t来重新生成由Qkℓ确定的对称更改，带有t对零旋转设置为零。参见Givens旋转引用Golub,GeneH.&CharlesF.VanLoan(1996),MatrixComputations(3rded.),Baltimore:JohnsHopkinsUniversi...

定义勒让德符号(ap){\displaystyle({\tfrac{a}{p}})}是对于所有的正整数a{\displaystylea}和所有的素数p{\displaystylep}定义的。当(ap)=1{\displaystyle({\frac{a}{p}})=1}时，称a{\displaystylea}是模p{\displaystylep}的二次剩余；当(ap)=−−-->1{\displaystyle({\frac{a}{p}})=-1}时，称a{\displaystylea}是模p{\displaystylep}的二次非剩余。运用勒让德符号计算时要将a{\displaystylea}分解成标准形式，计算上十分麻烦，因此产生了雅可比符号：设m{\displaystylem}是一个正奇数，其质因数分解式为m=∏∏-->i=pi{\displaystylem=\prod_{i...

雅可比行列式令n>1为固定的整数，考虑多项式F1,...,Fn，变量为X=(X1,...,Xn)，系数在特征为零的代数闭域k中。（可假设k为复数域C{\displaystyle\mathbb{C}}。）也就是说F1,……-->,Fn∈∈-->k[X]{\displaystyleF_{1},\ldots,F_{n}\ink[X]}。定义函数F:k→k为函数F的雅可比行列式JF是由F的偏导数组成的n×n矩阵的行列式JF也是变量为X的多项式函数。叙述多变量微积分的反函数定理指出如在某一点有JF≠0，那么在该点附近F有反函数。由于k是代数闭域，JF是多项式，因此JF必定在某些点上为0，除非JF是非零的常数函数。以下是一项基本结果：而其反命题则为雅可比猜想：令k{\displaystylek}为一特征为零的代数闭域。若F=(F1,……-->,Fn)∈∈-->...

雅可比矩阵假设某函数从Rn{\displaystyle\mathbb{R}^{n}}映到Rm{\displaystyle\mathbb{R}^{m}}，其雅可比矩阵是从Rn{\displaystyle\mathbb{R}^{n}}到Rm{\displaystyle\mathbb{R}^{m}}的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。假设F:Rn→Rm是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成:y1(x1,...,xn),...,ym(x1,...,xn)。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵(mbyn)，这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵用符号表示为：这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,...,m)表示的如果p是Rn{\displaystyle\mathbb{R}^{...